Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37731 / 29533
↖ ↑ ↗
← N 69.812153°
W 76.368713°		 ← 105.38 m → N 69.812153°
W 76.365967°		 →
↑
105.44 m
↓
↑
105.44 m
↓
N 69.811204°
W 76.368713°		 ← 105.38 m →
11 112 m²		 N 69.811204°
W 76.365967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287868499755859 y=0.225322723388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287868499755859 × 217)
    floor (0.287868499755859 × 131072)
    floor (37731.5)     		tx = 37731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225322723388672 × 217)
    floor (0.225322723388672 × 131072)
    floor (29533.5)     		ty = 29533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37731 / 29533 ti = "17/37731/29533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37731/29533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37731 ÷ 217
    37731 ÷ 131072     		x = 0.287864685058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29533 ÷ 217
    29533 ÷ 131072     		y = 0.225318908691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.287864685058594 × 2 - 1) × π
    -0.424270629882812 × 3.1415926535     		Λ = -1.33288549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225318908691406 × 2 - 1) × π
    0.549362182617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.72587219702088
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33288549} λ = -1.33288549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72587219702088))-π/2
    2×atan(5.61741838923563)-π/2
    2×1.39462412217671-π/2
    2.78924824435342-1.57079632675     		φ = 1.21845192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33288549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.368713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21845192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.812153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37731 KachelY 29533 -1.33288549 1.21845192 -76.368713 69.812153
    Oben rechts KachelX + 1 37732 KachelY 29533 -1.33283756 1.21845192 -76.365967 69.812153
    Unten links KachelX 37731 KachelY + 1 29534 -1.33288549 1.21843537 -76.368713 69.811204
    Unten rechts KachelX + 1 37732 KachelY + 1 29534 -1.33283756 1.21843537 -76.365967 69.811204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21845192-1.21843537) × R
    1.65500000000041e-05 × 6371000     		dl = 105.440050000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21845192-1.21843537) × R
    1.65500000000041e-05 × 6371000     		dr = 105.440050000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33288549--1.33283756) × cos(1.21845192) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.345099134884579 × 6371000     		do = 105.380172379663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33288549--1.33283756) × cos(1.21843537) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.34511466810859 × 6371000     		du = 105.38491563648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21845192)-sin(1.21843537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345099134884579-0.34511466810859)×R²
    abs(-1.33283756--1.33288549)×1.55332240115991e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55332240115991e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55332240115991e-05×40589641000000     		ar = 11111.540709611m²