Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3773 / 3778
↖ ↑ ↗
← N 79.808415°
W138.548584°		 ← 216.15 m → N 79.808415°
W138.537598°		 →
↑
216.23 m
↓
↑
216.23 m
↓
N 79.806471°
W138.548584°		 ← 216.19 m →
46 742 m²		 N 79.806471°
W138.537598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.115158081054688 y=0.115310668945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.115158081054688 × 215)
    floor (0.115158081054688 × 32768)
    floor (3773.5)     		tx = 3773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115310668945312 × 215)
    floor (0.115310668945312 × 32768)
    floor (3778.5)     		ty = 3778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3773 / 3778 ti = "15/3773/3778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3773/3778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3773 ÷ 215
    3773 ÷ 32768     		x = 0.115142822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3778 ÷ 215
    3778 ÷ 32768     		y = 0.11529541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.115142822265625 × 2 - 1) × π
    -0.76971435546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.41812896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11529541015625 × 2 - 1) × π
    0.7694091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41717022644171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.41812896} λ = -2.41812896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41717022644171))-π/2
    2×atan(11.2140810633859)-π/2
    2×1.48185797100297-π/2
    2.96371594200594-1.57079632675     		φ = 1.39291962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.41812896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.548584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39291962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.808415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3773 KachelY 3778 -2.41812896 1.39291962 -138.548584 79.808415
    Oben rechts KachelX + 1 3774 KachelY 3778 -2.41793722 1.39291962 -138.537598 79.808415
    Unten links KachelX 3773 KachelY + 1 3779 -2.41812896 1.39288568 -138.548584 79.806471
    Unten rechts KachelX + 1 3774 KachelY + 1 3779 -2.41793722 1.39288568 -138.537598 79.806471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39291962-1.39288568) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dl = 216.231740000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39291962-1.39288568) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dr = 216.231740000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.41812896--2.41793722) × cos(1.39291962) × R
    0.000191739999999996 × 0.176940182801711 × 6371000     		do = 216.145799353695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.41812896--2.41793722) × cos(1.39288568) × R
    0.000191739999999996 × 0.176973587181136 × 6371000     		du = 216.186605326529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39291962)-sin(1.39288568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176940182801711-0.176973587181136)×R²
    abs(-2.41793722--2.41812896)×3.34043794248118e-05×R²
    0.000191739999999996×3.34043794248118e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.34043794248118e-05×40589641000000     		ar = 46741.9940658703m²