Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37727 / 27742
↖ ↑ ↗
← N 26.598351°
E 27.240601°		 ← 546.15 m → N 26.598351°
E 27.246094°		 →
↑
546.19 m
↓
↑
546.19 m
↓
N 26.593439°
E 27.240601°		 ← 546.17 m →
298 304 m²		 N 26.593439°
E 27.246094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575675964355469 y=0.423316955566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575675964355469 × 216)
    floor (0.575675964355469 × 65536)
    floor (37727.5)     		tx = 37727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423316955566406 × 216)
    floor (0.423316955566406 × 65536)
    floor (27742.5)     		ty = 27742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37727 / 27742 ti = "16/37727/27742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37727/27742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37727 ÷ 216
    37727 ÷ 65536     		x = 0.575668334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27742 ÷ 216
    27742 ÷ 65536     		y = 0.423309326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575668334960938 × 2 - 1) × π
    0.151336669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47543817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423309326171875 × 2 - 1) × π
    0.15338134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.481861714980804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47543817} λ = 0.47543817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481861714980804))-π/2
    2×atan(1.61908587449929)-π/2
    2×1.01751256525823-π/2
    2.03502513051646-1.57079632675     		φ = 0.46422880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47543817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.240601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46422880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.598351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37727 KachelY 27742 0.47543817 0.46422880 27.240601 26.598351
    Oben rechts KachelX + 1 37728 KachelY 27742 0.47553404 0.46422880 27.246094 26.598351
    Unten links KachelX 37727 KachelY + 1 27743 0.47543817 0.46414307 27.240601 26.593439
    Unten rechts KachelX + 1 37728 KachelY + 1 27743 0.47553404 0.46414307 27.246094 26.593439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46422880-0.46414307) × R
    8.57300000000061e-05 × 6371000     		dl = 546.185830000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46422880-0.46414307) × R
    8.57300000000061e-05 × 6371000     		dr = 546.185830000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47543817-0.47553404) × cos(0.46422880) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.894167123436991 × 6371000     		do = 546.146343331383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47543817-0.47553404) × cos(0.46414307) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.894205504331394 × 6371000     		du = 546.169785912286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46422880)-sin(0.46414307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894167123436991-0.894205504331394)×R²
    abs(0.47553404-0.47543817)×3.83808944033337e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.83808944033337e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.83808944033337e-05×40589641000000     		ar = 298303.796019424m²