Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37726 / 28876
↖ ↑ ↗
← N 20.899871°
E 27.235108°		 ← 570.60 m → N 20.899871°
E 27.240601°		 →
↑
570.65 m
↓
↑
570.65 m
↓
N 20.894739°
E 27.235108°		 ← 570.62 m →
325 619 m²		 N 20.894739°
E 27.240601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575660705566406 y=0.440620422363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575660705566406 × 216)
    floor (0.575660705566406 × 65536)
    floor (37726.5)     		tx = 37726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440620422363281 × 216)
    floor (0.440620422363281 × 65536)
    floor (28876.5)     		ty = 28876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37726 / 28876 ti = "16/37726/28876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37726/28876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37726 ÷ 216
    37726 ÷ 65536     		x = 0.575653076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28876 ÷ 216
    28876 ÷ 65536     		y = 0.44061279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575653076171875 × 2 - 1) × π
    0.15130615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47534230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44061279296875 × 2 - 1) × π
    0.1187744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.373140826642517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47534230} λ = 0.47534230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373140826642517))-π/2
    2×atan(1.45228884639465)-π/2
    2×0.96778394751732-π/2
    1.93556789503464-1.57079632675     		φ = 0.36477157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47534230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.235108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36477157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.899871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37726 KachelY 28876 0.47534230 0.36477157 27.235108 20.899871
    Oben rechts KachelX + 1 37727 KachelY 28876 0.47543817 0.36477157 27.240601 20.899871
    Unten links KachelX 37726 KachelY + 1 28877 0.47534230 0.36468200 27.235108 20.894739
    Unten rechts KachelX + 1 37727 KachelY + 1 28877 0.47543817 0.36468200 27.240601 20.894739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36477157-0.36468200) × R
    8.95699999999833e-05 × 6371000     		dl = 570.650469999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36477157-0.36468200) × R
    8.95699999999833e-05 × 6371000     		dr = 570.650469999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47534230-0.47543817) × cos(0.36477157) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934205274719889 × 6371000     		do = 570.601156468386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47534230-0.47543817) × cos(0.36468200) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.934237223807238 × 6371000     		du = 570.620670580202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36477157)-sin(0.36468200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934205274719889-0.934237223807238)×R²
    abs(0.47543817-0.47534230)×3.19490873496031e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.19490873496031e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.19490873496031e-05×40589641000000     		ar = 325619.386207317m²