Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37725 / 29845
↖ ↑ ↗
← N 15.850389°
E 27.229614°		 ← 587.63 m → N 15.850389°
E 27.235108°		 →
↑
587.60 m
↓
↑
587.60 m
↓
N 15.845105°
E 27.229614°		 ← 587.64 m →
345 292 m²		 N 15.845105°
E 27.235108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575645446777344 y=0.455406188964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575645446777344 × 216)
    floor (0.575645446777344 × 65536)
    floor (37725.5)     		tx = 37725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455406188964844 × 216)
    floor (0.455406188964844 × 65536)
    floor (29845.5)     		ty = 29845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37725 / 29845 ti = "16/37725/29845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37725/29845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37725 ÷ 216
    37725 ÷ 65536     		x = 0.575637817382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29845 ÷ 216
    29845 ÷ 65536     		y = 0.455398559570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575637817382812 × 2 - 1) × π
    0.151275634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47524642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.455398559570312 × 2 - 1) × π
    0.089202880859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.280239115178848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47524642} λ = 0.47524642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.280239115178848))-π/2
    2×atan(1.32344623058785)-π/2
    2×0.923718903682184-π/2
    1.84743780736437-1.57079632675     		φ = 0.27664148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47524642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.229614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27664148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.850389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37725 KachelY 29845 0.47524642 0.27664148 27.229614 15.850389
    Oben rechts KachelX + 1 37726 KachelY 29845 0.47534230 0.27664148 27.235108 15.850389
    Unten links KachelX 37725 KachelY + 1 29846 0.47524642 0.27654925 27.229614 15.845105
    Unten rechts KachelX + 1 37726 KachelY + 1 29846 0.47534230 0.27654925 27.235108 15.845105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27664148-0.27654925) × R
    9.22299999999709e-05 × 6371000     		dl = 587.597329999815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27664148-0.27654925) × R
    9.22299999999709e-05 × 6371000     		dr = 587.597329999815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47524642-0.47534230) × cos(0.27664148) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.961978162356167 × 6371000     		do = 587.6257842029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47524642-0.47534230) × cos(0.27654925) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.96200334870996 × 6371000     		du = 587.64116932439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27664148)-sin(0.27654925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.961978162356167-0.96200334870996)×R²
    abs(0.47534230-0.47524642)×2.51863537928942e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.51863537928942e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.51863537928942e-05×40589641000000     		ar = 345291.862209563m²