Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37724 / 29848
↖ ↑ ↗
← N 15.834536°
E 27.224121°		 ← 587.61 m → N 15.834536°
E 27.229614°		 →
↑
587.60 m
↓
↑
587.60 m
↓
N 15.829251°
E 27.224121°		 ← 587.63 m →
345 283 m²		 N 15.829251°
E 27.229614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575630187988281 y=0.455451965332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575630187988281 × 216)
    floor (0.575630187988281 × 65536)
    floor (37724.5)     		tx = 37724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455451965332031 × 216)
    floor (0.455451965332031 × 65536)
    floor (29848.5)     		ty = 29848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37724 / 29848 ti = "16/37724/29848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37724/29848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37724 ÷ 216
    37724 ÷ 65536     		x = 0.57562255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29848 ÷ 216
    29848 ÷ 65536     		y = 0.4554443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57562255859375 × 2 - 1) × π
    0.1512451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47515055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4554443359375 × 2 - 1) × π
    0.089111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.279951493781128
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47515055} λ = 0.47515055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.279951493781128))-π/2
    2×atan(1.3230656338697)-π/2
    2×0.923580555498118-π/2
    1.84716111099624-1.57079632675     		φ = 0.27636478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47515055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.224121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27636478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.834536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37724 KachelY 29848 0.47515055 0.27636478 27.224121 15.834536
    Oben rechts KachelX + 1 37725 KachelY 29848 0.47524642 0.27636478 27.229614 15.834536
    Unten links KachelX 37724 KachelY + 1 29849 0.47515055 0.27627255 27.224121 15.829251
    Unten rechts KachelX + 1 37725 KachelY + 1 29849 0.47524642 0.27627255 27.229614 15.829251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27636478-0.27627255) × R
    9.22299999999709e-05 × 6371000     		dl = 587.597329999815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27636478-0.27627255) × R
    9.22299999999709e-05 × 6371000     		dr = 587.597329999815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47515055-0.47524642) × cos(0.27636478) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.962053699596455 × 6371000     		do = 587.610633796756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47515055-0.47524642) × cos(0.27627255) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.962078861399241 × 6371000     		du = 587.626002318169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27636478)-sin(0.27627255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.962053699596455-0.962078861399241)×R²
    abs(0.47524642-0.47515055)×2.5161802785445e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.5161802785445e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.5161802785445e-05×40589641000000     		ar = 345282.9549942m²