Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37723 / 30615
↖ ↑ ↗
← N 11.743680°
E 27.218628°		 ← 598 m → N 11.743680°
E 27.224121°		 →
↑
597.98 m
↓
↑
597.98 m
↓
N 11.738303°
E 27.218628°		 ← 598.01 m →
357 598 m²		 N 11.738303°
E 27.224121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575614929199219 y=0.467155456542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575614929199219 × 216)
    floor (0.575614929199219 × 65536)
    floor (37723.5)     		tx = 37723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467155456542969 × 216)
    floor (0.467155456542969 × 65536)
    floor (30615.5)     		ty = 30615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37723 / 30615 ti = "16/37723/30615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37723/30615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37723 ÷ 216
    37723 ÷ 65536     		x = 0.575607299804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30615 ÷ 216
    30615 ÷ 65536     		y = 0.467147827148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575607299804688 × 2 - 1) × π
    0.151214599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47505468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467147827148438 × 2 - 1) × π
    0.065704345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.206416289763962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47505468} λ = 0.47505468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.206416289763962))-π/2
    2×atan(1.22926482786107)-π/2
    2×0.887881109821471-π/2
    1.77576221964294-1.57079632675     		φ = 0.20496589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47505468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.218628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20496589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.743680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37723 KachelY 30615 0.47505468 0.20496589 27.218628 11.743680
    Oben rechts KachelX + 1 37724 KachelY 30615 0.47515055 0.20496589 27.224121 11.743680
    Unten links KachelX 37723 KachelY + 1 30616 0.47505468 0.20487203 27.218628 11.738303
    Unten rechts KachelX + 1 37724 KachelY + 1 30616 0.47515055 0.20487203 27.224121 11.738303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20496589-0.20487203) × R
    9.38600000000012e-05 × 6371000     		dl = 597.982060000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20496589-0.20487203) × R
    9.38600000000012e-05 × 6371000     		dr = 597.982060000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47505468-0.47515055) × cos(0.20496589) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979067927625763 × 6371000     		do = 598.002716193048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47505468-0.47515055) × cos(0.20487203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979087026992179 × 6371000     		du = 598.014381852469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20496589)-sin(0.20487203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979067927625763-0.979087026992179)×R²
    abs(0.47515055-0.47505468)×1.90993664153094e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.90993664153094e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.90993664153094e-05×40589641000000     		ar = 357598.384304783m²