Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37723 / 29849
↖ ↑ ↗
← N 15.829251°
E 27.218628°		 ← 587.63 m → N 15.829251°
E 27.224121°		 →
↑
587.66 m
↓
↑
587.66 m
↓
N 15.823966°
E 27.218628°		 ← 587.64 m →
345 329 m²		 N 15.823966°
E 27.224121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575614929199219 y=0.455467224121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575614929199219 × 216)
    floor (0.575614929199219 × 65536)
    floor (37723.5)     		tx = 37723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455467224121094 × 216)
    floor (0.455467224121094 × 65536)
    floor (29849.5)     		ty = 29849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37723 / 29849 ti = "16/37723/29849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37723/29849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37723 ÷ 216
    37723 ÷ 65536     		x = 0.575607299804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29849 ÷ 216
    29849 ÷ 65536     		y = 0.455459594726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575607299804688 × 2 - 1) × π
    0.151214599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47505468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.455459594726562 × 2 - 1) × π
    0.089080810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.279855619981888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47505468} λ = 0.47505468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.279855619981888))-π/2
    2×atan(1.32293879262121)-π/2
    2×0.923534437023381-π/2
    1.84706887404676-1.57079632675     		φ = 0.27627255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47505468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.218628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27627255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.829251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37723 KachelY 29849 0.47505468 0.27627255 27.218628 15.829251
    Oben rechts KachelX + 1 37724 KachelY 29849 0.47515055 0.27627255 27.224121 15.829251
    Unten links KachelX 37723 KachelY + 1 29850 0.47505468 0.27618031 27.218628 15.823966
    Unten rechts KachelX + 1 37724 KachelY + 1 29850 0.47515055 0.27618031 27.224121 15.823966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27627255-0.27618031) × R
    9.22400000000212e-05 × 6371000     		dl = 587.661040000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27627255-0.27618031) × R
    9.22400000000212e-05 × 6371000     		dr = 587.661040000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47505468-0.47515055) × cos(0.27627255) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.962078861399241 × 6371000     		do = 587.626002318169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47505468-0.47515055) × cos(0.27618031) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.962104017745052 × 6371000     		du = 587.641367506528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27627255)-sin(0.27618031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.962078861399241-0.962104017745052)×R²
    abs(0.47515055-0.47505468)×2.51563458110171e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.51563458110171e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.51563458110171e-05×40589641000000     		ar = 345329.422659564m²