Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37723 / 28970
↖ ↑ ↗
← N 20.416717°
E 27.218628°		 ← 572.42 m → N 20.416717°
E 27.224121°		 →
↑
572.43 m
↓
↑
572.43 m
↓
N 20.411569°
E 27.218628°		 ← 572.44 m →
327 677 m²		 N 20.411569°
E 27.224121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575614929199219 y=0.442054748535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575614929199219 × 216)
    floor (0.575614929199219 × 65536)
    floor (37723.5)     		tx = 37723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442054748535156 × 216)
    floor (0.442054748535156 × 65536)
    floor (28970.5)     		ty = 28970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37723 / 28970 ti = "16/37723/28970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37723/28970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37723 ÷ 216
    37723 ÷ 65536     		x = 0.575607299804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28970 ÷ 216
    28970 ÷ 65536     		y = 0.442047119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575607299804688 × 2 - 1) × π
    0.151214599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47505468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442047119140625 × 2 - 1) × π
    0.11590576171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.364128689513947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47505468} λ = 0.47505468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.364128689513947))-π/2
    2×atan(1.43925941983596)-π/2
    2×0.963567630345054-π/2
    1.92713526069011-1.57079632675     		φ = 0.35633893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47505468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.218628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35633893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.416717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37723 KachelY 28970 0.47505468 0.35633893 27.218628 20.416717
    Oben rechts KachelX + 1 37724 KachelY 28970 0.47515055 0.35633893 27.224121 20.416717
    Unten links KachelX 37723 KachelY + 1 28971 0.47505468 0.35624908 27.218628 20.411569
    Unten rechts KachelX + 1 37724 KachelY + 1 28971 0.47515055 0.35624908 27.224121 20.411569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35633893-0.35624908) × R
    8.98500000000024e-05 × 6371000     		dl = 572.434350000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35633893-0.35624908) × R
    8.98500000000024e-05 × 6371000     		dr = 572.434350000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47505468-0.47515055) × cos(0.35633893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.937180249315649 × 6371000     		do = 572.418234567537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47505468-0.47515055) × cos(0.35624908) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.937211589300511 × 6371000     		du = 572.437376647003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35633893)-sin(0.35624908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937180249315649-0.937211589300511)×R²
    abs(0.47515055-0.47505468)×3.13399848622664e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13399848622664e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13399848622664e-05×40589641000000     		ar = 327677.339045258m²