Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3772 / 3525
↖ ↑ ↗
← N 24.327076°
W 14.238281°		 ← 4 452.62 m → N 24.327076°
W 14.194336°		 →
↑
4 453.33 m
↓
↑
4 453.33 m
↓
N 24.287027°
W 14.238281°		 ← 4 454.02 m →
19 832 092 m²		 N 24.287027°
W 14.194336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46051025390625 y=0.43035888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46051025390625 × 213)
    floor (0.46051025390625 × 8192)
    floor (3772.5)     		tx = 3772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43035888671875 × 213)
    floor (0.43035888671875 × 8192)
    floor (3525.5)     		ty = 3525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3772 / 3525 ti = "13/3772/3525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3772/3525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3772 ÷ 213
    3772 ÷ 8192     		x = 0.46044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3525 ÷ 213
    3525 ÷ 8192     		y = 0.4302978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46044921875 × 2 - 1) × π
    -0.0791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24850489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4302978515625 × 2 - 1) × π
    0.139404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.437951514928833
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24850489} λ = -0.24850489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.437951514928833))-π/2
    2×atan(1.54952977653667)-π/2
    2×0.997691954895743-π/2
    1.99538390979149-1.57079632675     		φ = 0.42458758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24850489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42458758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.327076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3772 KachelY 3525 -0.24850489 0.42458758 -14.238281 24.327076
    Oben rechts KachelX + 1 3773 KachelY 3525 -0.24773790 0.42458758 -14.194336 24.327076
    Unten links KachelX 3772 KachelY + 1 3526 -0.24850489 0.42388858 -14.238281 24.287027
    Unten rechts KachelX + 1 3773 KachelY + 1 3526 -0.24773790 0.42388858 -14.194336 24.287027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42458758-0.42388858) × R
    0.000699000000000005 × 6371000     		dl = 4453.32900000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42458758-0.42388858) × R
    0.000699000000000005 × 6371000     		dr = 4453.32900000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24850489--0.24773790) × cos(0.42458758) × R
    0.000766989999999995 × 0.911208704806615 × 6371000     		do = 4452.61522182709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24850489--0.24773790) × cos(0.42388858) × R
    0.000766989999999995 × 0.911496431740683 × 6371000     		du = 4454.02119755976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42458758)-sin(0.42388858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911208704806615-0.911496431740683)×R²
    abs(-0.24773790--0.24850489)×0.000287726934067756×R²
    0.000766989999999995×0.000287726934067756×6371000²
    0.000766989999999995×0.000287726934067756×40589641000000     		ar = 19832091.9369556m²