Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37713 / 30607
↖ ↑ ↗
← N 11.786703°
E 27.163696°		 ← 597.91 m → N 11.786703°
E 27.169189°		 →
↑
597.92 m
↓
↑
597.92 m
↓
N 11.781325°
E 27.163696°		 ← 597.92 m →
357 504 m²		 N 11.781325°
E 27.169189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575462341308594 y=0.467033386230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575462341308594 × 216)
    floor (0.575462341308594 × 65536)
    floor (37713.5)     		tx = 37713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467033386230469 × 216)
    floor (0.467033386230469 × 65536)
    floor (30607.5)     		ty = 30607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37713 / 30607 ti = "16/37713/30607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37713/30607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37713 ÷ 216
    37713 ÷ 65536     		x = 0.575454711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30607 ÷ 216
    30607 ÷ 65536     		y = 0.467025756835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575454711914062 × 2 - 1) × π
    0.150909423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47409594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467025756835938 × 2 - 1) × π
    0.065948486328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.207183280157883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47409594} λ = 0.47409594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.207183280157883))-π/2
    2×atan(1.23020802384052)-π/2
    2×0.888256548328384-π/2
    1.77651309665677-1.57079632675     		φ = 0.20571677
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47409594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.163696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20571677 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.786703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37713 KachelY 30607 0.47409594 0.20571677 27.163696 11.786703
    Oben rechts KachelX + 1 37714 KachelY 30607 0.47419181 0.20571677 27.169189 11.786703
    Unten links KachelX 37713 KachelY + 1 30608 0.47409594 0.20562292 27.163696 11.781325
    Unten rechts KachelX + 1 37714 KachelY + 1 30608 0.47419181 0.20562292 27.169189 11.781325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20571677-0.20562292) × R
    9.38500000000064e-05 × 6371000     		dl = 597.918350000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20571677-0.20562292) × R
    9.38500000000064e-05 × 6371000     		dr = 597.918350000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47409594-0.47419181) × cos(0.20571677) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978914822197995 × 6371000     		do = 597.909201270247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47409594-0.47419181) × cos(0.20562292) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978933988520277 × 6371000     		du = 597.920907825492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20571677)-sin(0.20562292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978914822197995-0.978933988520277)×R²
    abs(0.47419181-0.47409594)×1.91663222823824e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.91663222823824e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.91663222823824e-05×40589641000000     		ar = 357504.383117852m²