Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37712 / 27906
↖ ↑ ↗
← N 25.790000°
E 27.158203°		 ← 550.01 m → N 25.790000°
E 27.163696°		 →
↑
550.01 m
↓
↑
550.01 m
↓
N 25.785053°
E 27.158203°		 ← 550.03 m →
302 515 m²		 N 25.785053°
E 27.163696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575447082519531 y=0.425819396972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575447082519531 × 216)
    floor (0.575447082519531 × 65536)
    floor (37712.5)     		tx = 37712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425819396972656 × 216)
    floor (0.425819396972656 × 65536)
    floor (27906.5)     		ty = 27906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37712 / 27906 ti = "16/37712/27906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37712/27906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37712 ÷ 216
    37712 ÷ 65536     		x = 0.575439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27906 ÷ 216
    27906 ÷ 65536     		y = 0.425811767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575439453125 × 2 - 1) × π
    0.15087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47400006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425811767578125 × 2 - 1) × π
    0.14837646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.466138411905426
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47400006} λ = 0.47400006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.466138411905426))-π/2
    2×atan(1.59382758879552)-π/2
    2×1.01045836662147-π/2
    2.02091673324294-1.57079632675     		φ = 0.45012041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47400006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.158203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45012041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.790000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37712 KachelY 27906 0.47400006 0.45012041 27.158203 25.790000
    Oben rechts KachelX + 1 37713 KachelY 27906 0.47409594 0.45012041 27.163696 25.790000
    Unten links KachelX 37712 KachelY + 1 27907 0.47400006 0.45003408 27.158203 25.785053
    Unten rechts KachelX + 1 37713 KachelY + 1 27907 0.47409594 0.45003408 27.163696 25.785053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45012041-0.45003408) × R
    8.63300000000233e-05 × 6371000     		dl = 550.008430000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45012041-0.45003408) × R
    8.63300000000233e-05 × 6371000     		dr = 550.008430000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47400006-0.47409594) × cos(0.45012041) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.900394721625244 × 6371000     		do = 550.007448288926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47400006-0.47409594) × cos(0.45003408) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.900432278204367 × 6371000     		du = 550.030389780867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45012041)-sin(0.45003408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900394721625244-0.900432278204367)×R²
    abs(0.47409594-0.47400006)×3.75565791224108e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.75565791224108e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.75565791224108e-05×40589641000000     		ar = 302515.042316658m²