Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37710 / 28369
↖ ↑ ↗
← N 23.478363°
E 27.147217°		 ← 560.22 m → N 23.478363°
E 27.152710°		 →
↑
560.27 m
↓
↑
560.27 m
↓
N 23.473324°
E 27.147217°		 ← 560.24 m →
313 879 m²		 N 23.473324°
E 27.152710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575416564941406 y=0.432884216308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575416564941406 × 216)
    floor (0.575416564941406 × 65536)
    floor (37710.5)     		tx = 37710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432884216308594 × 216)
    floor (0.432884216308594 × 65536)
    floor (28369.5)     		ty = 28369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37710 / 28369 ti = "16/37710/28369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37710/28369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37710 ÷ 216
    37710 ÷ 65536     		x = 0.575408935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28369 ÷ 216
    28369 ÷ 65536     		y = 0.432876586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575408935546875 × 2 - 1) × π
    0.15081787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47380832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432876586914062 × 2 - 1) × π
    0.134246826171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.421748842857254
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47380832} λ = 0.47380832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.421748842857254))-π/2
    2×atan(1.52462555599423)-π/2
    2×0.990285526490905-π/2
    1.98057105298181-1.57079632675     		φ = 0.40977473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47380832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.147217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40977473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.478363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37710 KachelY 28369 0.47380832 0.40977473 27.147217 23.478363
    Oben rechts KachelX + 1 37711 KachelY 28369 0.47390419 0.40977473 27.152710 23.478363
    Unten links KachelX 37710 KachelY + 1 28370 0.47380832 0.40968679 27.147217 23.473324
    Unten rechts KachelX + 1 37711 KachelY + 1 28370 0.47390419 0.40968679 27.152710 23.473324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40977473-0.40968679) × R
    8.79399999999531e-05 × 6371000     		dl = 560.265739999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40977473-0.40968679) × R
    8.79399999999531e-05 × 6371000     		dr = 560.265739999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47380832-0.47390419) × cos(0.40977473) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917210594268791 × 6371000     		do = 560.221013493798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47380832-0.47390419) × cos(0.40968679) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917245626257175 × 6371000     		du = 560.242410603861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40977473)-sin(0.40968679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917210594268791-0.917245626257175)×R²
    abs(0.47390419-0.47380832)×3.50319883831718e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.50319883831718e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.50319883831718e-05×40589641000000     		ar = 313878.634924479m²