Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37710 / 27423
↖ ↑ ↗
← N 28.154347°
E 27.147217°		 ← 538.52 m → N 28.154347°
E 27.152710°		 →
↑
538.60 m
↓
↑
538.60 m
↓
N 28.149503°
E 27.147217°		 ← 538.54 m →
290 055 m²		 N 28.149503°
E 27.152710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575416564941406 y=0.418449401855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575416564941406 × 216)
    floor (0.575416564941406 × 65536)
    floor (37710.5)     		tx = 37710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418449401855469 × 216)
    floor (0.418449401855469 × 65536)
    floor (27423.5)     		ty = 27423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37710 / 27423 ti = "16/37710/27423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37710/27423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37710 ÷ 216
    37710 ÷ 65536     		x = 0.575408935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27423 ÷ 216
    27423 ÷ 65536     		y = 0.418441772460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575408935546875 × 2 - 1) × π
    0.15081787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47380832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418441772460938 × 2 - 1) × π
    0.163116455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.5124454569384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47380832} λ = 0.47380832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.5124454569384))-π/2
    2×atan(1.66936857635136)-π/2
    2×1.03109118625942-π/2
    2.06218237251883-1.57079632675     		φ = 0.49138605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47380832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.147217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49138605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.154347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37710 KachelY 27423 0.47380832 0.49138605 27.147217 28.154347
    Oben rechts KachelX + 1 37711 KachelY 27423 0.47390419 0.49138605 27.152710 28.154347
    Unten links KachelX 37710 KachelY + 1 27424 0.47380832 0.49130151 27.147217 28.149503
    Unten rechts KachelX + 1 37711 KachelY + 1 27424 0.47390419 0.49130151 27.152710 28.149503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49138605-0.49130151) × R
    8.45400000000218e-05 × 6371000     		dl = 538.604340000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49138605-0.49130151) × R
    8.45400000000218e-05 × 6371000     		dr = 538.604340000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47380832-0.47390419) × cos(0.49138605) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.881679700266728 × 6371000     		do = 538.519177980171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47380832-0.47390419) × cos(0.49130151) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.881719587179151 × 6371000     		du = 538.543540418463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49138605)-sin(0.49130151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881679700266728-0.881719587179151)×R²
    abs(0.47390419-0.47380832)×3.98869124236256e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.98869124236256e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.98869124236256e-05×40589641000000     		ar = 290055.327463878m²