Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3771 / 5341
↖ ↑ ↗
← S 47.901613°
W 14.282227°		 ← 3 275.93 m → S 47.901613°
W 14.238281°		 →
↑
3 275.01 m
↓
↑
3 275.01 m
↓
S 47.931066°
W 14.282227°		 ← 3 274.07 m →
10 725 669 m²		 S 47.931066°
W 14.238281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46038818359375 y=0.65203857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46038818359375 × 213)
    floor (0.46038818359375 × 8192)
    floor (3771.5)     		tx = 3771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65203857421875 × 213)
    floor (0.65203857421875 × 8192)
    floor (5341.5)     		ty = 5341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3771 / 5341 ti = "13/3771/5341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3771/5341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3771 ÷ 213
    3771 ÷ 8192     		x = 0.4603271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5341 ÷ 213
    5341 ÷ 8192     		y = 0.6519775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4603271484375 × 2 - 1) × π
    -0.079345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24927188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6519775390625 × 2 - 1) × π
    -0.303955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.954903040431519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24927188} λ = -0.24927188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.954903040431519))-π/2
    2×atan(0.384849457581359)-π/2
    2×0.36737772674875-π/2
    0.734755453497501-1.57079632675     		φ = -0.83604087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24927188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.282227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83604087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.901613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3771 KachelY 5341 -0.24927188 -0.83604087 -14.282227 -47.901613
    Oben rechts KachelX + 1 3772 KachelY 5341 -0.24850489 -0.83604087 -14.238281 -47.901613
    Unten links KachelX 3771 KachelY + 1 5342 -0.24927188 -0.83655492 -14.282227 -47.931066
    Unten rechts KachelX + 1 3772 KachelY + 1 5342 -0.24850489 -0.83655492 -14.238281 -47.931066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83604087--0.83655492) × R
    0.000514049999999933 × 6371000     		dl = 3275.01254999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83604087--0.83655492) × R
    0.000514049999999933 × 6371000     		dr = 3275.01254999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24927188--0.24850489) × cos(-0.83604087) × R
    0.000766989999999995 × 0.670405725918612 × 6371000     		do = 3275.93308127886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24927188--0.24850489) × cos(-0.83655492) × R
    0.000766989999999995 × 0.670024214973752 × 6371000     		du = 3274.06883060674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83604087)-sin(-0.83655492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670405725918612-0.670024214973752)×R²
    abs(-0.24850489--0.24927188)×0.000381510944859831×R²
    0.000766989999999995×0.000381510944859831×6371000²
    0.000766989999999995×0.000381510944859831×40589641000000     		ar = 10725669.468159m²