Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3771 / 2618
↖ ↑ ↗
← N 76.547524°
W 97.141114°		 ← 568.40 m → N 76.547524°
W 97.119141°		 →
↑
568.55 m
↓
↑
568.55 m
↓
N 76.542410°
W 97.141114°		 ← 568.61 m →
323 224 m²		 N 76.542410°
W 97.119141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230194091796875 y=0.159820556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230194091796875 × 214)
    floor (0.230194091796875 × 16384)
    floor (3771.5)     		tx = 3771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159820556640625 × 214)
    floor (0.159820556640625 × 16384)
    floor (2618.5)     		ty = 2618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3771 / 2618 ti = "14/3771/2618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3771/2618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3771 ÷ 214
    3771 ÷ 16384     		x = 0.23016357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2618 ÷ 214
    2618 ÷ 16384     		y = 0.1597900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.23016357421875 × 2 - 1) × π
    -0.5396728515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.69543227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1597900390625 × 2 - 1) × π
    0.680419921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13760222785754
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69543227} λ = -1.69543227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13760222785754))-π/2
    2×atan(8.4790823275527)-π/2
    2×1.45340132190006-π/2
    2.90680264380012-1.57079632675     		φ = 1.33600632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69543227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.141114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33600632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.547524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3771 KachelY 2618 -1.69543227 1.33600632 -97.141114 76.547524
    Oben rechts KachelX + 1 3772 KachelY 2618 -1.69504877 1.33600632 -97.119141 76.547524
    Unten links KachelX 3771 KachelY + 1 2619 -1.69543227 1.33591708 -97.141114 76.542410
    Unten rechts KachelX + 1 3772 KachelY + 1 2619 -1.69504877 1.33591708 -97.119141 76.542410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33600632-1.33591708) × R
    8.92400000001015e-05 × 6371000     		dl = 568.548040000646m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33600632-1.33591708) × R
    8.92400000001015e-05 × 6371000     		dr = 568.548040000646m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69543227--1.69504877) × cos(1.33600632) × R
    0.00038349999999987 × 0.232638758976517 × 6371000     		do = 568.401278073812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69543227--1.69504877) × cos(1.33591708) × R
    0.00038349999999987 × 0.232725549591396 × 6371000     		du = 568.61333171715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33600632)-sin(1.33591708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232638758976517-0.232725549591396)×R²
    abs(-1.69504877--1.69543227)×8.67906148796782e-05×R²
    0.00038349999999987×8.67906148796782e-05×6371000²
    0.00038349999999987×8.67906148796782e-05×40589641000000     		ar = 323223.714138376m²