Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37709 / 28947
↖ ↑ ↗
← N 20.535077°
E 27.141724°		 ← 572.04 m → N 20.535077°
E 27.147217°		 →
↑
571.99 m
↓
↑
571.99 m
↓
N 20.529933°
E 27.141724°		 ← 572.06 m →
327 204 m²		 N 20.529933°
E 27.147217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575401306152344 y=0.441703796386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575401306152344 × 216)
    floor (0.575401306152344 × 65536)
    floor (37709.5)     		tx = 37709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441703796386719 × 216)
    floor (0.441703796386719 × 65536)
    floor (28947.5)     		ty = 28947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37709 / 28947 ti = "16/37709/28947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37709/28947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37709 ÷ 216
    37709 ÷ 65536     		x = 0.575393676757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28947 ÷ 216
    28947 ÷ 65536     		y = 0.441696166992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575393676757812 × 2 - 1) × π
    0.150787353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47371244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441696166992188 × 2 - 1) × π
    0.116607666015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.366333786896469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47371244} λ = 0.47371244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.366333786896469))-π/2
    2×atan(1.44243662875553)-π/2
    2×0.964600519146114-π/2
    1.92920103829223-1.57079632675     		φ = 0.35840471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47371244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.141724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35840471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.535077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37709 KachelY 28947 0.47371244 0.35840471 27.141724 20.535077
    Oben rechts KachelX + 1 37710 KachelY 28947 0.47380832 0.35840471 27.147217 20.535077
    Unten links KachelX 37709 KachelY + 1 28948 0.47371244 0.35831493 27.141724 20.529933
    Unten rechts KachelX + 1 37710 KachelY + 1 28948 0.47380832 0.35831493 27.147217 20.529933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35840471-0.35831493) × R
    8.97800000000393e-05 × 6371000     		dl = 571.98838000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35840471-0.35831493) × R
    8.97800000000393e-05 × 6371000     		dr = 571.98838000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47371244-0.47380832) × cos(0.35840471) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.936457612096024 × 6371000     		do = 572.036518306078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47371244-0.47380832) × cos(0.35831493) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.936489101418373 × 6371000     		du = 572.055753605239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35840471)-sin(0.35831493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936457612096024-0.936489101418373)×R²
    abs(0.47380832-0.47371244)×3.14893223490875e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.14893223490875e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.14893223490875e-05×40589641000000     		ar = 327203.742810458m²