Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37709 / 27818
↖ ↑ ↗
← N 26.224447°
E 27.141724°		 ← 547.98 m → N 26.224447°
E 27.147217°		 →
↑
547.91 m
↓
↑
547.91 m
↓
N 26.219519°
E 27.141724°		 ← 548 m →
300 246 m²		 N 26.219519°
E 27.147217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575401306152344 y=0.424476623535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575401306152344 × 216)
    floor (0.575401306152344 × 65536)
    floor (37709.5)     		tx = 37709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424476623535156 × 216)
    floor (0.424476623535156 × 65536)
    floor (27818.5)     		ty = 27818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37709 / 27818 ti = "16/37709/27818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37709/27818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37709 ÷ 216
    37709 ÷ 65536     		x = 0.575393676757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27818 ÷ 216
    27818 ÷ 65536     		y = 0.424468994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575393676757812 × 2 - 1) × π
    0.150787353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47371244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424468994140625 × 2 - 1) × π
    0.15106201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.474575306238556
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47371244} λ = 0.47371244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474575306238556))-π/2
    2×atan(1.60733142888184)-π/2
    2×1.01424963524931-π/2
    2.02849927049862-1.57079632675     		φ = 0.45770294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47371244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.141724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45770294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.224447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37709 KachelY 27818 0.47371244 0.45770294 27.141724 26.224447
    Oben rechts KachelX + 1 37710 KachelY 27818 0.47380832 0.45770294 27.147217 26.224447
    Unten links KachelX 37709 KachelY + 1 27819 0.47371244 0.45761694 27.141724 26.219519
    Unten rechts KachelX + 1 37710 KachelY + 1 27819 0.47380832 0.45761694 27.147217 26.219519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45770294-0.45761694) × R
    8.5999999999975e-05 × 6371000     		dl = 547.905999999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45770294-0.45761694) × R
    8.5999999999975e-05 × 6371000     		dr = 547.905999999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47371244-0.47380832) × cos(0.45770294) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.897069908064725 × 6371000     		do = 547.976481004759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47371244-0.47380832) × cos(0.45761694) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.897107907171315 × 6371000     		du = 547.999692815258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45770294)-sin(0.45761694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897069908064725-0.897107907171315)×R²
    abs(0.47380832-0.47371244)×3.79991065904139e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.79991065904139e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.79991065904139e-05×40589641000000     		ar = 300245.960931451m²