Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37701 / 28429
↖ ↑ ↗
← N 23.175714°
E 27.097778°		 ← 561.56 m → N 23.175714°
E 27.103272°		 →
↑
561.54 m
↓
↑
561.54 m
↓
N 23.170664°
E 27.097778°		 ← 561.58 m →
315 343 m²		 N 23.170664°
E 27.103272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575279235839844 y=0.433799743652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575279235839844 × 216)
    floor (0.575279235839844 × 65536)
    floor (37701.5)     		tx = 37701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433799743652344 × 216)
    floor (0.433799743652344 × 65536)
    floor (28429.5)     		ty = 28429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37701 / 28429 ti = "16/37701/28429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37701/28429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37701 ÷ 216
    37701 ÷ 65536     		x = 0.575271606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28429 ÷ 216
    28429 ÷ 65536     		y = 0.433792114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575271606445312 × 2 - 1) × π
    0.150543212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47294545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433792114257812 × 2 - 1) × π
    0.132415771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.415996414902847
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47294545} λ = 0.47294545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.415996414902847))-π/2
    2×atan(1.5158804342822)-π/2
    2×0.987644419550288-π/2
    1.97528883910058-1.57079632675     		φ = 0.40449251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47294545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.097778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40449251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.175714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37701 KachelY 28429 0.47294545 0.40449251 27.097778 23.175714
    Oben rechts KachelX + 1 37702 KachelY 28429 0.47304133 0.40449251 27.103272 23.175714
    Unten links KachelX 37701 KachelY + 1 28430 0.47294545 0.40440437 27.097778 23.170664
    Unten rechts KachelX + 1 37702 KachelY + 1 28430 0.47304133 0.40440437 27.103272 23.170664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40449251-0.40440437) × R
    8.81400000000143e-05 × 6371000     		dl = 561.539940000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40449251-0.40440437) × R
    8.81400000000143e-05 × 6371000     		dr = 561.539940000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47294545-0.47304133) × cos(0.40449251) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.919302239382276 × 6371000     		do = 561.557133493934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47294545-0.47304133) × cos(0.40440437) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.919336923508821 × 6371000     		du = 561.578320343967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40449251)-sin(0.40440437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919302239382276-0.919336923508821)×R²
    abs(0.47304133-0.47294545)×3.46841265456144e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.46841265456144e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.46841265456144e-05×40589641000000     		ar = 315342.707884168m²