Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37701 / 27369
↖ ↑ ↗
← N 28.415560°
E 27.097778°		 ← 537.26 m → N 28.415560°
E 27.103272°		 →
↑
537.27 m
↓
↑
537.27 m
↓
N 28.410728°
E 27.097778°		 ← 537.28 m →
288 656 m²		 N 28.410728°
E 27.103272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575279235839844 y=0.417625427246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575279235839844 × 216)
    floor (0.575279235839844 × 65536)
    floor (37701.5)     		tx = 37701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417625427246094 × 216)
    floor (0.417625427246094 × 65536)
    floor (27369.5)     		ty = 27369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37701 / 27369 ti = "16/37701/27369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37701/27369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37701 ÷ 216
    37701 ÷ 65536     		x = 0.575271606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27369 ÷ 216
    27369 ÷ 65536     		y = 0.417617797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575271606445312 × 2 - 1) × π
    0.150543212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47294545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417617797851562 × 2 - 1) × π
    0.164764404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.517622642097366
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47294545} λ = 0.47294545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.517622642097366))-π/2
    2×atan(1.67803361747659)-π/2
    2×1.03337070249548-π/2
    2.06674140499096-1.57079632675     		φ = 0.49594508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47294545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.097778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49594508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.415560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37701 KachelY 27369 0.47294545 0.49594508 27.097778 28.415560
    Oben rechts KachelX + 1 37702 KachelY 27369 0.47304133 0.49594508 27.103272 28.415560
    Unten links KachelX 37701 KachelY + 1 27370 0.47294545 0.49586075 27.097778 28.410728
    Unten rechts KachelX + 1 37702 KachelY + 1 27370 0.47304133 0.49586075 27.103272 28.410728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49594508-0.49586075) × R
    8.43299999999658e-05 × 6371000     		dl = 537.266429999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49594508-0.49586075) × R
    8.43299999999658e-05 × 6371000     		dr = 537.266429999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47294545-0.47304133) × cos(0.49594508) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.879519374006524 × 6371000     		do = 537.255711300518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47294545-0.47304133) × cos(0.49586075) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.879559500412626 × 6371000     		du = 537.280222575072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49594508)-sin(0.49586075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879519374006524-0.879559500412626)×R²
    abs(0.47304133-0.47294545)×4.01264061021811e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.01264061021811e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.01264061021811e-05×40589641000000     		ar = 288656.042721016m²