Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3770 / 5342
↖ ↑ ↗
← S 47.931066°
W 14.326172°		 ← 3 274.07 m → S 47.931066°
W 14.282227°		 →
↑
3 273.16 m
↓
↑
3 273.16 m
↓
S 47.960503°
W 14.326172°		 ← 3 272.20 m →
10 713 517 m²		 S 47.960503°
W 14.282227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46026611328125 y=0.65216064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46026611328125 × 213)
    floor (0.46026611328125 × 8192)
    floor (3770.5)     		tx = 3770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65216064453125 × 213)
    floor (0.65216064453125 × 8192)
    floor (5342.5)     		ty = 5342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3770 / 5342 ti = "13/3770/5342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3770/5342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3770 ÷ 213
    3770 ÷ 8192     		x = 0.460205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5342 ÷ 213
    5342 ÷ 8192     		y = 0.652099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460205078125 × 2 - 1) × π
    -0.07958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25003887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652099609375 × 2 - 1) × π
    -0.30419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.955670030825439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25003887} λ = -0.25003887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.955670030825439))-π/2
    2×atan(0.384554394913869)-π/2
    2×0.36712070252865-π/2
    0.7342414050573-1.57079632675     		φ = -0.83655492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25003887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.326172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83655492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.931066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3770 KachelY 5342 -0.25003887 -0.83655492 -14.326172 -47.931066
    Oben rechts KachelX + 1 3771 KachelY 5342 -0.24927188 -0.83655492 -14.282227 -47.931066
    Unten links KachelX 3770 KachelY + 1 5343 -0.25003887 -0.83706868 -14.326172 -47.960503
    Unten rechts KachelX + 1 3771 KachelY + 1 5343 -0.24927188 -0.83706868 -14.282227 -47.960503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83655492--0.83706868) × R
    0.00051376000000003 × 6371000     		dl = 3273.16496000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83655492--0.83706868) × R
    0.00051376000000003 × 6371000     		dr = 3273.16496000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25003887--0.24927188) × cos(-0.83655492) × R
    0.000766990000000023 × 0.670024214973752 × 6371000     		do = 3274.06883060686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25003887--0.24927188) × cos(-0.83706868) × R
    0.000766990000000023 × 0.669642742354945 × 6371000     		du = 3272.20476721474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83655492)-sin(-0.83706868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670024214973752-0.669642742354945)×R²
    abs(-0.24927188--0.25003887)×0.000381472618807166×R²
    0.000766990000000023×0.000381472618807166×6371000²
    0.000766990000000023×0.000381472618807166×40589641000000     		ar = 10713516.9151331m²