Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3770 / 2621
↖ ↑ ↗
← N 76.532180°
W 97.163086°		 ← 569.02 m → N 76.532180°
W 97.141114°		 →
↑
569.12 m
↓
↑
569.12 m
↓
N 76.527061°
W 97.163086°		 ← 569.24 m →
323 903 m²		 N 76.527061°
W 97.141114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230133056640625 y=0.160003662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230133056640625 × 214)
    floor (0.230133056640625 × 16384)
    floor (3770.5)     		tx = 3770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160003662109375 × 214)
    floor (0.160003662109375 × 16384)
    floor (2621.5)     		ty = 2621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3770 / 2621 ti = "14/3770/2621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3770/2621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3770 ÷ 214
    3770 ÷ 16384     		x = 0.2301025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2621 ÷ 214
    2621 ÷ 16384     		y = 0.15997314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2301025390625 × 2 - 1) × π
    -0.539794921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.69581576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15997314453125 × 2 - 1) × π
    0.6800537109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.13645174226666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69581576} λ = -1.69581576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13645174226666))-π/2
    2×atan(8.46933287488873)-π/2
    2×1.45326742323297-π/2
    2.90653484646593-1.57079632675     		φ = 1.33573852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69581576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.163086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33573852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.532180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3770 KachelY 2621 -1.69581576 1.33573852 -97.163086 76.532180
    Oben rechts KachelX + 1 3771 KachelY 2621 -1.69543227 1.33573852 -97.141114 76.532180
    Unten links KachelX 3770 KachelY + 1 2622 -1.69581576 1.33564919 -97.163086 76.527061
    Unten rechts KachelX + 1 3771 KachelY + 1 2622 -1.69543227 1.33564919 -97.141114 76.527061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33573852-1.33564919) × R
    8.93299999999986e-05 × 6371000     		dl = 569.121429999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33573852-1.33564919) × R
    8.93299999999986e-05 × 6371000     		dr = 569.121429999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69581576--1.69543227) × cos(1.33573852) × R
    0.000383489999999931 × 0.232899203060412 × 6371000     		do = 569.022777496309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69581576--1.69543227) × cos(1.33564919) × R
    0.000383489999999931 × 0.232986075634639 × 6371000     		du = 569.235025854505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33573852)-sin(1.33564919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232899203060412-0.232986075634639)×R²
    abs(-1.69543227--1.69581576)×8.68725742268484e-05×R²
    0.000383489999999931×8.68725742268484e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.68725742268484e-05×40589641000000     		ar = 323903.454591311m²