Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37695 / 27398
↖ ↑ ↗
← N 28.275358°
E 27.064819°		 ← 537.91 m → N 28.275358°
E 27.070312°		 →
↑
537.97 m
↓
↑
537.97 m
↓
N 28.270520°
E 27.064819°		 ← 537.93 m →
289 384 m²		 N 28.270520°
E 27.070312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575187683105469 y=0.418067932128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575187683105469 × 216)
    floor (0.575187683105469 × 65536)
    floor (37695.5)     		tx = 37695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418067932128906 × 216)
    floor (0.418067932128906 × 65536)
    floor (27398.5)     		ty = 27398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37695 / 27398 ti = "16/37695/27398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37695/27398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37695 ÷ 216
    37695 ÷ 65536     		x = 0.575180053710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27398 ÷ 216
    27398 ÷ 65536     		y = 0.418060302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575180053710938 × 2 - 1) × π
    0.150360107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47237021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418060302734375 × 2 - 1) × π
    0.16387939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.514842301919403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47237021} λ = 0.47237021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.514842301919403))-π/2
    2×atan(1.67337459302768)-π/2
    2×1.03214721299035-π/2
    2.06429442598069-1.57079632675     		φ = 0.49349810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47237021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.064819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49349810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.275358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37695 KachelY 27398 0.47237021 0.49349810 27.064819 28.275358
    Oben rechts KachelX + 1 37696 KachelY 27398 0.47246608 0.49349810 27.070312 28.275358
    Unten links KachelX 37695 KachelY + 1 27399 0.47237021 0.49341366 27.064819 28.270520
    Unten rechts KachelX + 1 37696 KachelY + 1 27399 0.47246608 0.49341366 27.070312 28.270520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49349810-0.49341366) × R
    8.44400000000189e-05 × 6371000     		dl = 537.967240000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49349810-0.49341366) × R
    8.44400000000189e-05 × 6371000     		dr = 537.967240000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47237021-0.47246608) × cos(0.49349810) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.880681167130915 × 6371000     		do = 537.909286152877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47237021-0.47246608) × cos(0.49341366) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.880721164020609 × 6371000     		du = 537.93371576394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49349810)-sin(0.49341366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880681167130915-0.880721164020609)×R²
    abs(0.47246608-0.47237021)×3.99968896939162e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.99968896939162e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.99968896939162e-05×40589641000000     		ar = 289384.145379218m²