Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37692 / 27404
↖ ↑ ↗
← N 28.246328°
E 27.048340°		 ← 538.06 m → N 28.246328°
E 27.053833°		 →
↑
538.03 m
↓
↑
538.03 m
↓
N 28.241489°
E 27.048340°		 ← 538.08 m →
289 497 m²		 N 28.241489°
E 27.053833°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575141906738281 y=0.418159484863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575141906738281 × 216)
    floor (0.575141906738281 × 65536)
    floor (37692.5)     		tx = 37692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418159484863281 × 216)
    floor (0.418159484863281 × 65536)
    floor (27404.5)     		ty = 27404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37692 / 27404 ti = "16/37692/27404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37692/27404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37692 ÷ 216
    37692 ÷ 65536     		x = 0.57513427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27404 ÷ 216
    27404 ÷ 65536     		y = 0.41815185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57513427734375 × 2 - 1) × π
    0.1502685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47208259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41815185546875 × 2 - 1) × π
    0.1636962890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.514267059123962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47208259} λ = 0.47208259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.514267059123962))-π/2
    2×atan(1.67241227315929)-π/2
    2×1.03189387573746-π/2
    2.06378775147492-1.57079632675     		φ = 0.49299142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47208259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.048340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49299142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.246328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37692 KachelY 27404 0.47208259 0.49299142 27.048340 28.246328
    Oben rechts KachelX + 1 37693 KachelY 27404 0.47217846 0.49299142 27.053833 28.246328
    Unten links KachelX 37692 KachelY + 1 27405 0.47208259 0.49290697 27.048340 28.241489
    Unten rechts KachelX + 1 37693 KachelY + 1 27405 0.47217846 0.49290697 27.053833 28.241489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49299142-0.49290697) × R
    8.44500000000137e-05 × 6371000     		dl = 538.030950000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49299142-0.49290697) × R
    8.44500000000137e-05 × 6371000     		dr = 538.030950000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47208259-0.47217846) × cos(0.49299142) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.880921073199276 × 6371000     		do = 538.055817845381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47208259-0.47217846) × cos(0.49290697) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.880961037135755 × 6371000     		du = 538.080227329023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49299142)-sin(0.49290697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880921073199276-0.880961037135755)×R²
    abs(0.47217846-0.47208259)×3.99639364787596e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.99639364787596e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.99639364787596e-05×40589641000000     		ar = 289497.249529221m²