Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37691 / 28426
↖ ↑ ↗
← N 23.190863°
E 27.042846°		 ← 561.49 m → N 23.190863°
E 27.048340°		 →
↑
561.48 m
↓
↑
561.48 m
↓
N 23.185813°
E 27.042846°		 ← 561.51 m →
315 271 m²		 N 23.185813°
E 27.048340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575126647949219 y=0.433753967285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575126647949219 × 216)
    floor (0.575126647949219 × 65536)
    floor (37691.5)     		tx = 37691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433753967285156 × 216)
    floor (0.433753967285156 × 65536)
    floor (28426.5)     		ty = 28426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37691 / 28426 ti = "16/37691/28426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37691/28426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37691 ÷ 216
    37691 ÷ 65536     		x = 0.575119018554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28426 ÷ 216
    28426 ÷ 65536     		y = 0.433746337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575119018554688 × 2 - 1) × π
    0.150238037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47198671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433746337890625 × 2 - 1) × π
    0.13250732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.416284036300568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47198671} λ = 0.47198671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.416284036300568))-π/2
    2×atan(1.51631649663891)-π/2
    2×0.98777661756397-π/2
    1.97555323512794-1.57079632675     		φ = 0.40475691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47198671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.042846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40475691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.190863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37691 KachelY 28426 0.47198671 0.40475691 27.042846 23.190863
    Oben rechts KachelX + 1 37692 KachelY 28426 0.47208259 0.40475691 27.048340 23.190863
    Unten links KachelX 37691 KachelY + 1 28427 0.47198671 0.40466878 27.042846 23.185813
    Unten rechts KachelX + 1 37692 KachelY + 1 28427 0.47208259 0.40466878 27.048340 23.185813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40475691-0.40466878) × R
    8.81300000000196e-05 × 6371000     		dl = 561.476230000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40475691-0.40466878) × R
    8.81300000000196e-05 × 6371000     		dr = 561.476230000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47198671-0.47208259) × cos(0.40475691) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.919198152029147 × 6371000     		do = 561.493551580551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47198671-0.47208259) × cos(0.40466878) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.919232853641359 × 6371000     		du = 561.514749111729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40475691)-sin(0.40466878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919198152029147-0.919232853641359)×R²
    abs(0.47208259-0.47198671)×3.47016122119737e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.47016122119737e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.47016122119737e-05×40589641000000     		ar = 315271.233669698m²