Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37690 / 27753
↖ ↑ ↗
← N 26.544308°
E 27.037354°		 ← 546.40 m → N 26.544308°
E 27.042846°		 →
↑
546.44 m
↓
↑
546.44 m
↓
N 26.539394°
E 27.037354°		 ← 546.43 m →
298 584 m²		 N 26.539394°
E 27.042846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575111389160156 y=0.423484802246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575111389160156 × 216)
    floor (0.575111389160156 × 65536)
    floor (37690.5)     		tx = 37690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423484802246094 × 216)
    floor (0.423484802246094 × 65536)
    floor (27753.5)     		ty = 27753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37690 / 27753 ti = "16/37690/27753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37690/27753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37690 ÷ 216
    37690 ÷ 65536     		x = 0.575103759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27753 ÷ 216
    27753 ÷ 65536     		y = 0.423477172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575103759765625 × 2 - 1) × π
    0.15020751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47189084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423477172851562 × 2 - 1) × π
    0.153045654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.480807103189163
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47189084} λ = 0.47189084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.480807103189163))-π/2
    2×atan(1.61737926750647)-π/2
    2×1.01704095439798-π/2
    2.03408190879596-1.57079632675     		φ = 0.46328558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47189084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.037354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46328558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.544308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37690 KachelY 27753 0.47189084 0.46328558 27.037354 26.544308
    Oben rechts KachelX + 1 37691 KachelY 27753 0.47198671 0.46328558 27.042846 26.544308
    Unten links KachelX 37690 KachelY + 1 27754 0.47189084 0.46319981 27.037354 26.539394
    Unten rechts KachelX + 1 37691 KachelY + 1 27754 0.47198671 0.46319981 27.042846 26.539394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46328558-0.46319981) × R
    8.5769999999985e-05 × 6371000     		dl = 546.440669999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46328558-0.46319981) × R
    8.5769999999985e-05 × 6371000     		dr = 546.440669999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47189084-0.47198671) × cos(0.46328558) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.894589036673457 × 6371000     		do = 546.404042776217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47189084-0.47198671) × cos(0.46319981) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.894627363117402 × 6371000     		du = 546.427452099446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46328558)-sin(0.46319981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894589036673457-0.894627363117402)×R²
    abs(0.47198671-0.47189084)×3.83264439448583e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.83264439448583e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.83264439448583e-05×40589641000000     		ar = 298583.787311509m²