Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3769 / 2620
↖ ↑ ↗
← N 76.537296°
W 97.185059°		 ← 568.83 m → N 76.537296°
W 97.163086°		 →
↑
568.93 m
↓
↑
568.93 m
↓
N 76.532180°
W 97.185059°		 ← 569.04 m →
323 682 m²		 N 76.532180°
W 97.163086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230072021484375 y=0.159942626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230072021484375 × 214)
    floor (0.230072021484375 × 16384)
    floor (3769.5)     		tx = 3769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159942626953125 × 214)
    floor (0.159942626953125 × 16384)
    floor (2620.5)     		ty = 2620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3769 / 2620 ti = "14/3769/2620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3769/2620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3769 ÷ 214
    3769 ÷ 16384     		x = 0.23004150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2620 ÷ 214
    2620 ÷ 16384     		y = 0.159912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.23004150390625 × 2 - 1) × π
    -0.5399169921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.69619926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159912109375 × 2 - 1) × π
    0.68017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.13683523746362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69619926} λ = -1.69619926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13683523746362))-π/2
    2×atan(8.47258144623365)-π/2
    2×1.45331207276932-π/2
    2.90662414553863-1.57079632675     		φ = 1.33582782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69619926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.185059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33582782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.537296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3769 KachelY 2620 -1.69619926 1.33582782 -97.185059 76.537296
    Oben rechts KachelX + 1 3770 KachelY 2620 -1.69581576 1.33582782 -97.163086 76.537296
    Unten links KachelX 3769 KachelY + 1 2621 -1.69619926 1.33573852 -97.185059 76.532180
    Unten rechts KachelX + 1 3770 KachelY + 1 2621 -1.69581576 1.33573852 -97.163086 76.532180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33582782-1.33573852) × R
    8.92999999999589e-05 × 6371000     		dl = 568.930299999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33582782-1.33573852) × R
    8.92999999999589e-05 × 6371000     		dr = 568.930299999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69619926--1.69581576) × cos(1.33582782) × R
    0.000383500000000092 × 0.232812357803335 × 6371000     		do = 568.825428355332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69619926--1.69581576) × cos(1.33573852) × R
    0.000383500000000092 × 0.232899203060412 × 6371000     		du = 569.037615504775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33582782)-sin(1.33573852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232812357803335-0.232899203060412)×R²
    abs(-1.69581576--1.69619926)×8.68452570769451e-05×R²
    0.000383500000000092×8.68452570769451e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.68452570769451e-05×40589641000000     		ar = 323682.381665847m²