Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3769 / 2502
↖ ↑ ↗
← N 57.183902°
W 14.370117°		 ← 2 648.21 m → N 57.183902°
W 14.326172°		 →
↑
2 649.06 m
↓
↑
2 649.06 m
↓
N 57.160078°
W 14.370117°		 ← 2 649.91 m →
7 017 527 m²		 N 57.160078°
W 14.326172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46014404296875 y=0.30548095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46014404296875 × 213)
    floor (0.46014404296875 × 8192)
    floor (3769.5)     		tx = 3769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30548095703125 × 213)
    floor (0.30548095703125 × 8192)
    floor (2502.5)     		ty = 2502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3769 / 2502 ti = "13/3769/2502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3769/2502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3769 ÷ 213
    3769 ÷ 8192     		x = 0.4600830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2502 ÷ 213
    2502 ÷ 8192     		y = 0.305419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4600830078125 × 2 - 1) × π
    -0.079833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25080586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305419921875 × 2 - 1) × π
    0.38916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22258268790991
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25080586} λ = -0.25080586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22258268790991))-π/2
    2×atan(3.39594708890111)-π/2
    2×1.2844218466704-π/2
    2.5688436933408-1.57079632675     		φ = 0.99804737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25080586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.370117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99804737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.183902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3769 KachelY 2502 -0.25080586 0.99804737 -14.370117 57.183902
    Oben rechts KachelX + 1 3770 KachelY 2502 -0.25003887 0.99804737 -14.326172 57.183902
    Unten links KachelX 3769 KachelY + 1 2503 -0.25080586 0.99763157 -14.370117 57.160078
    Unten rechts KachelX + 1 3770 KachelY + 1 2503 -0.25003887 0.99763157 -14.326172 57.160078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99804737-0.99763157) × R
    0.000415799999999966 × 6371000     		dl = 2649.06179999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99804737-0.99763157) × R
    0.000415799999999966 × 6371000     		dr = 2649.06179999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25080586--0.25003887) × cos(0.99804737) × R
    0.000766989999999967 × 0.541944356290851 × 6371000     		do = 2648.2074605685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25080586--0.25003887) × cos(0.99763157) × R
    0.000766989999999967 × 0.542293753727888 × 6371000     		du = 2649.91478880012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99804737)-sin(0.99763157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541944356290851-0.542293753727888)×R²
    abs(-0.25003887--0.25080586)×0.000349397437036991×R²
    0.000766989999999967×0.000349397437036991×6371000²
    0.000766989999999967×0.000349397437036991×40589641000000     		ar = 7017526.73237066m²