Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37687 / 27350
↖ ↑ ↗
← N 28.507316°
E 27.020874°		 ← 536.73 m → N 28.507316°
E 27.026367°		 →
↑
536.76 m
↓
↑
536.76 m
↓
N 28.502489°
E 27.020874°		 ← 536.76 m →
288 102 m²		 N 28.502489°
E 27.026367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575065612792969 y=0.417335510253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575065612792969 × 216)
    floor (0.575065612792969 × 65536)
    floor (37687.5)     		tx = 37687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417335510253906 × 216)
    floor (0.417335510253906 × 65536)
    floor (27350.5)     		ty = 27350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37687 / 27350 ti = "16/37687/27350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37687/27350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37687 ÷ 216
    37687 ÷ 65536     		x = 0.575057983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27350 ÷ 216
    27350 ÷ 65536     		y = 0.417327880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575057983398438 × 2 - 1) × π
    0.150115966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47160322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417327880859375 × 2 - 1) × π
    0.16534423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.519444244282928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47160322} λ = 0.47160322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.519444244282928))-π/2
    2×atan(1.68109311292742)-π/2
    2×1.03417142226537-π/2
    2.06834284453073-1.57079632675     		φ = 0.49754652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47160322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.020874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49754652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.507316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37687 KachelY 27350 0.47160322 0.49754652 27.020874 28.507316
    Oben rechts KachelX + 1 37688 KachelY 27350 0.47169909 0.49754652 27.026367 28.507316
    Unten links KachelX 37687 KachelY + 1 27351 0.47160322 0.49746227 27.020874 28.502489
    Unten rechts KachelX + 1 37688 KachelY + 1 27351 0.47169909 0.49746227 27.026367 28.502489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49754652-0.49746227) × R
    8.42500000000079e-05 × 6371000     		dl = 536.75675000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49754652-0.49746227) × R
    8.42500000000079e-05 × 6371000     		dr = 536.75675000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47160322-0.47169909) × cos(0.49754652) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.87875618034981 × 6371000     		do = 536.733527769566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47160322-0.47169909) × cos(0.49746227) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.878796387309959 × 6371000     		du = 536.758085689095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49754652)-sin(0.49746227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87875618034981-0.878796387309959)×R²
    abs(0.47169909-0.47160322)×4.02069601499466e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.02069601499466e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.02069601499466e-05×40589641000000     		ar = 288101.934966548m²