Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37686 / 27765
↖ ↑ ↗
← N 26.485324°
E 27.015381°		 ← 546.74 m → N 26.485324°
E 27.020874°		 →
↑
546.76 m
↓
↑
546.76 m
↓
N 26.480407°
E 27.015381°		 ← 546.77 m →
298 942 m²		 N 26.480407°
E 27.020874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575050354003906 y=0.423667907714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575050354003906 × 216)
    floor (0.575050354003906 × 65536)
    floor (37686.5)     		tx = 37686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423667907714844 × 216)
    floor (0.423667907714844 × 65536)
    floor (27765.5)     		ty = 27765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37686 / 27765 ti = "16/37686/27765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37686/27765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37686 ÷ 216
    37686 ÷ 65536     		x = 0.575042724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27765 ÷ 216
    27765 ÷ 65536     		y = 0.423660278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575042724609375 × 2 - 1) × π
    0.15008544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47150734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423660278320312 × 2 - 1) × π
    0.152679443359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.479656617598282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47150734} λ = 0.47150734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.479656617598282))-π/2
    2×atan(1.61551956594927)-π/2
    2×1.01652621627871-π/2
    2.03305243255741-1.57079632675     		φ = 0.46225611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47150734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.015381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46225611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.485324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37686 KachelY 27765 0.47150734 0.46225611 27.015381 26.485324
    Oben rechts KachelX + 1 37687 KachelY 27765 0.47160322 0.46225611 27.020874 26.485324
    Unten links KachelX 37686 KachelY + 1 27766 0.47150734 0.46217029 27.015381 26.480407
    Unten rechts KachelX + 1 37687 KachelY + 1 27766 0.47160322 0.46217029 27.020874 26.480407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46225611-0.46217029) × R
    8.58200000000142e-05 × 6371000     		dl = 546.759220000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46225611-0.46217029) × R
    8.58200000000142e-05 × 6371000     		dr = 546.759220000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47150734-0.47160322) × cos(0.46225611) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.895048622144487 × 6371000     		do = 546.741775508879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47150734-0.47160322) × cos(0.46217029) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.895086891870931 × 6371000     		du = 546.765152627916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46225611)-sin(0.46217029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895048622144487-0.895086891870931)×R²
    abs(0.47160322-0.47150734)×3.82697264438292e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.82697264438292e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.82697264438292e-05×40589641000000     		ar = 298942.497729713m²