Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37682 / 27414
↖ ↑ ↗
← N 28.197927°
E 26.993408°		 ← 538.30 m → N 28.197927°
E 26.998901°		 →
↑
538.35 m
↓
↑
538.35 m
↓
N 28.193085°
E 26.993408°		 ← 538.32 m →
289 800 m²		 N 28.193085°
E 26.998901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574989318847656 y=0.418312072753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574989318847656 × 216)
    floor (0.574989318847656 × 65536)
    floor (37682.5)     		tx = 37682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418312072753906 × 216)
    floor (0.418312072753906 × 65536)
    floor (27414.5)     		ty = 27414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37682 / 27414 ti = "16/37682/27414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37682/27414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37682 ÷ 216
    37682 ÷ 65536     		x = 0.574981689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27414 ÷ 216
    27414 ÷ 65536     		y = 0.418304443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574981689453125 × 2 - 1) × π
    0.14996337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47112385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418304443359375 × 2 - 1) × π
    0.16339111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.513308321131561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47112385} λ = 0.47112385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.513308321131561))-π/2
    2×atan(1.67080963635121)-π/2
    2×1.03147149372056-π/2
    2.06294298744111-1.57079632675     		φ = 0.49214666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47112385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.993408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49214666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.197927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37682 KachelY 27414 0.47112385 0.49214666 26.993408 28.197927
    Oben rechts KachelX + 1 37683 KachelY 27414 0.47121972 0.49214666 26.998901 28.197927
    Unten links KachelX 37682 KachelY + 1 27415 0.47112385 0.49206216 26.993408 28.193085
    Unten rechts KachelX + 1 37683 KachelY + 1 27415 0.47121972 0.49206216 26.998901 28.193085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49214666-0.49206216) × R
    8.44999999999874e-05 × 6371000     		dl = 538.34949999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49214666-0.49206216) × R
    8.44999999999874e-05 × 6371000     		dr = 538.34949999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47112385-0.47121972) × cos(0.49214666) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.881320552657007 × 6371000     		do = 538.299815012529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47112385-0.47121972) × cos(0.49206216) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.881360477355136 × 6371000     		du = 538.324200529867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49214666)-sin(0.49206216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881320552657007-0.881360477355136)×R²
    abs(0.47121972-0.47112385)×3.9924698128635e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.9924698128635e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.9924698128635e-05×40589641000000     		ar = 289800.000400184m²