Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37680 / 27825
↖ ↑ ↗
← N 26.189948°
E 26.982422°		 ← 548.14 m → N 26.189948°
E 26.987915°		 →
↑
548.16 m
↓
↑
548.16 m
↓
N 26.185018°
E 26.982422°		 ← 548.16 m →
300 475 m²		 N 26.185018°
E 26.987915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574958801269531 y=0.424583435058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574958801269531 × 216)
    floor (0.574958801269531 × 65536)
    floor (37680.5)     		tx = 37680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424583435058594 × 216)
    floor (0.424583435058594 × 65536)
    floor (27825.5)     		ty = 27825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37680 / 27825 ti = "16/37680/27825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37680/27825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37680 ÷ 216
    37680 ÷ 65536     		x = 0.574951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27825 ÷ 216
    27825 ÷ 65536     		y = 0.424575805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574951171875 × 2 - 1) × π
    0.14990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47093210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424575805664062 × 2 - 1) × π
    0.150848388671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.473904189643875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47093210} λ = 0.47093210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.473904189643875))-π/2
    2×atan(1.60625308397482)-π/2
    2×1.01394857137774-π/2
    2.02789714275547-1.57079632675     		φ = 0.45710082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47093210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.982422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45710082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.189948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37680 KachelY 27825 0.47093210 0.45710082 26.982422 26.189948
    Oben rechts KachelX + 1 37681 KachelY 27825 0.47102798 0.45710082 26.987915 26.189948
    Unten links KachelX 37680 KachelY + 1 27826 0.47093210 0.45701478 26.982422 26.185018
    Unten rechts KachelX + 1 37681 KachelY + 1 27826 0.47102798 0.45701478 26.987915 26.185018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45710082-0.45701478) × R
    8.60400000000094e-05 × 6371000     		dl = 548.16084000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45710082-0.45701478) × R
    8.60400000000094e-05 × 6371000     		dr = 548.16084000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47093210-0.47102798) × cos(0.45710082) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.897335815427631 × 6371000     		do = 548.138910910933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47093210-0.47102798) × cos(0.45701478) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.89737378572484 × 6371000     		du = 548.162105123179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45710082)-sin(0.45701478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897335815427631-0.89737378572484)×R²
    abs(0.47102798-0.47093210)×3.7970297209533e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.7970297209533e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.7970297209533e-05×40589641000000     		ar = 300474.643106348m²