Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37679 / 27758
↖ ↑ ↗
← N 26.519735°
E 26.976929°		 ← 546.52 m → N 26.519735°
E 26.982422°		 →
↑
546.57 m
↓
↑
546.57 m
↓
N 26.514820°
E 26.976929°		 ← 546.54 m →
298 717 m²		 N 26.514820°
E 26.982422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574943542480469 y=0.423561096191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574943542480469 × 216)
    floor (0.574943542480469 × 65536)
    floor (37679.5)     		tx = 37679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423561096191406 × 216)
    floor (0.423561096191406 × 65536)
    floor (27758.5)     		ty = 27758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37679 / 27758 ti = "16/37679/27758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37679/27758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37679 ÷ 216
    37679 ÷ 65536     		x = 0.574935913085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27758 ÷ 216
    27758 ÷ 65536     		y = 0.423553466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574935913085938 × 2 - 1) × π
    0.149871826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47083623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423553466796875 × 2 - 1) × π
    0.15289306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.480327734192963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47083623} λ = 0.47083623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.480327734192963))-π/2
    2×atan(1.61660413183338)-π/2
    2×1.01682651231189-π/2
    2.03365302462378-1.57079632675     		φ = 0.46285670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47083623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.976929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46285670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.519735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37679 KachelY 27758 0.47083623 0.46285670 26.976929 26.519735
    Oben rechts KachelX + 1 37680 KachelY 27758 0.47093210 0.46285670 26.982422 26.519735
    Unten links KachelX 37679 KachelY + 1 27759 0.47083623 0.46277091 26.976929 26.514820
    Unten rechts KachelX + 1 37680 KachelY + 1 27759 0.47093210 0.46277091 26.982422 26.514820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46285670-0.46277091) × R
    8.579000000003e-05 × 6371000     		dl = 546.568090000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46285670-0.46277091) × R
    8.579000000003e-05 × 6371000     		dr = 546.568090000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47083623-0.47093210) × cos(0.46285670) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.894780616472346 × 6371000     		do = 546.521057374358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47083623-0.47093210) × cos(0.46277091) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.894818918933157 × 6371000     		du = 546.544452048982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46285670)-sin(0.46277091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894780616472346-0.894818918933157)×R²
    abs(0.47093210-0.47083623)×3.8302460810602e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.8302460810602e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.8302460810602e-05×40589641000000     		ar = 298717.364048516m²