Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37677 / 27445
↖ ↑ ↗
← N 28.047743°
E 26.965942°		 ← 539.05 m → N 28.047743°
E 26.971435°		 →
↑
539.05 m
↓
↑
539.05 m
↓
N 28.042895°
E 26.965942°		 ← 539.08 m →
290 584 m²		 N 28.042895°
E 26.971435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574913024902344 y=0.418785095214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574913024902344 × 216)
    floor (0.574913024902344 × 65536)
    floor (37677.5)     		tx = 37677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418785095214844 × 216)
    floor (0.418785095214844 × 65536)
    floor (27445.5)     		ty = 27445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37677 / 27445 ti = "16/37677/27445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37677/27445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37677 ÷ 216
    37677 ÷ 65536     		x = 0.574905395507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27445 ÷ 216
    27445 ÷ 65536     		y = 0.418777465820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574905395507812 × 2 - 1) × π
    0.149810791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47064448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418777465820312 × 2 - 1) × π
    0.162445068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.510336233355118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47064448} λ = 0.47064448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.510336233355118))-π/2
    2×atan(1.66585121553514)-π/2
    2×1.03016089413301-π/2
    2.06032178826601-1.57079632675     		φ = 0.48952546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47064448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.965942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48952546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.047743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37677 KachelY 27445 0.47064448 0.48952546 26.965942 28.047743
    Oben rechts KachelX + 1 37678 KachelY 27445 0.47074035 0.48952546 26.971435 28.047743
    Unten links KachelX 37677 KachelY + 1 27446 0.47064448 0.48944085 26.965942 28.042895
    Unten rechts KachelX + 1 37678 KachelY + 1 27446 0.47074035 0.48944085 26.971435 28.042895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48952546-0.48944085) × R
    8.46100000000405e-05 × 6371000     		dl = 539.050310000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48952546-0.48944085) × R
    8.46100000000405e-05 × 6371000     		dr = 539.050310000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47064448-0.47074035) × cos(0.48952546) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.882556090065235 × 6371000     		do = 539.054466150852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47064448-0.47074035) × cos(0.48944085) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.882595871131663 × 6371000     		du = 539.078763939704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48952546)-sin(0.48944085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882556090065235-0.882595871131663)×R²
    abs(0.47074035-0.47064448)×3.97810664282128e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.97810664282128e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.97810664282128e-05×40589641000000     		ar = 290584.026124416m²