Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 37674 / 103210
↖ ↑ ↗
← S 71.337741°
W 76.525269°		 ← 97.73 m → S 71.337741°
W 76.522522°		 →
↑
97.73 m
↓
↑
97.73 m
↓
S 71.338620°
W 76.525269°		 ← 97.73 m →
9 551 m²		 S 71.338620°
W 76.522522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287433624267578 y=0.787433624267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287433624267578 × 217)
    floor (0.287433624267578 × 131072)
    floor (37674.5)     		tx = 37674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787433624267578 × 217)
    floor (0.787433624267578 × 131072)
    floor (103210.5)     		ty = 103210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37674 / 103210 ti = "17/37674/103210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37674/103210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37674 ÷ 217
    37674 ÷ 131072     		x = 0.287429809570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103210 ÷ 217
    103210 ÷ 131072     		y = 0.787429809570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.287429809570312 × 2 - 1) × π
    -0.425140380859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.33561790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787429809570312 × 2 - 1) × π
    -0.574859619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.805974756286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33561790} λ = -1.33561790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.805974756286))-π/2
    2×atan(0.164314212179026)-π/2
    2×0.162858933288597-π/2
    0.325717866577195-1.57079632675     		φ = -1.24507846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33561790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.525269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24507846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.337741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37674 KachelY 103210 -1.33561790 -1.24507846 -76.525269 -71.337741
    Oben rechts KachelX + 1 37675 KachelY 103210 -1.33556996 -1.24507846 -76.522522 -71.337741
    Unten links KachelX 37674 KachelY + 1 103211 -1.33561790 -1.24509380 -76.525269 -71.338620
    Unten rechts KachelX + 1 37675 KachelY + 1 103211 -1.33556996 -1.24509380 -76.522522 -71.338620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24507846--1.24509380) × R
    1.53400000000303e-05 × 6371000     		dl = 97.7311400001932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24507846--1.24509380) × R
    1.53400000000303e-05 × 6371000     		dr = 97.7311400001932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33561790--1.33556996) × cos(-1.24507846) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319988990513093 × 6371000     		do = 97.7328742192504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33561790--1.33556996) × cos(-1.24509380) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3199744570333 × 6371000     		du = 97.7284353204297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24507846)-sin(-1.24509380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319988990513093-0.3199744570333)×R²
    abs(-1.33556996--1.33561790)×1.4533479793688e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4533479793688e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4533479793688e-05×40589641000000     		ar = 9551.32830394071m²