Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37673 / 28461
↖ ↑ ↗
← N 23.014020°
E 26.943970°		 ← 562.17 m → N 23.014020°
E 26.949463°		 →
↑
562.24 m
↓
↑
562.24 m
↓
N 23.008964°
E 26.943970°		 ← 562.20 m →
316 083 m²		 N 23.008964°
E 26.949463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574851989746094 y=0.434288024902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574851989746094 × 216)
    floor (0.574851989746094 × 65536)
    floor (37673.5)     		tx = 37673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434288024902344 × 216)
    floor (0.434288024902344 × 65536)
    floor (28461.5)     		ty = 28461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37673 / 28461 ti = "16/37673/28461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37673/28461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37673 ÷ 216
    37673 ÷ 65536     		x = 0.574844360351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28461 ÷ 216
    28461 ÷ 65536     		y = 0.434280395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574844360351562 × 2 - 1) × π
    0.149688720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47026099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434280395507812 × 2 - 1) × π
    0.131439208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.412928453327164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47026099} λ = 0.47026099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.412928453327164))-π/2
    2×atan(1.51123689809402)-π/2
    2×0.986233377772713-π/2
    1.97246675554543-1.57079632675     		φ = 0.40167043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47026099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.943970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40167043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.014020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37673 KachelY 28461 0.47026099 0.40167043 26.943970 23.014020
    Oben rechts KachelX + 1 37674 KachelY 28461 0.47035686 0.40167043 26.949463 23.014020
    Unten links KachelX 37673 KachelY + 1 28462 0.47026099 0.40158218 26.943970 23.008964
    Unten rechts KachelX + 1 37674 KachelY + 1 28462 0.47035686 0.40158218 26.949463 23.008964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40167043-0.40158218) × R
    8.82500000000119e-05 × 6371000     		dl = 562.240750000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40167043-0.40158218) × R
    8.82500000000119e-05 × 6371000     		dr = 562.240750000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47026099-0.47035686) × cos(0.40167043) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.920409213189156 × 6371000     		do = 562.174690811247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47026099-0.47035686) × cos(0.40158218) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.920443711504327 × 6371000     		du = 562.195761960239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40167043)-sin(0.40158218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920409213189156-0.920443711504327)×R²
    abs(0.47035686-0.47026099)×3.44983151705502e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.44983151705502e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.44983151705502e-05×40589641000000     		ar = 316083.443527274m²