Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37673 / 28443
↖ ↑ ↗
← N 23.104997°
E 26.943970°		 ← 561.79 m → N 23.104997°
E 26.949463°		 →
↑
561.86 m
↓
↑
561.86 m
↓
N 23.099944°
E 26.943970°		 ← 561.82 m →
315 655 m²		 N 23.099944°
E 26.949463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574851989746094 y=0.434013366699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574851989746094 × 216)
    floor (0.574851989746094 × 65536)
    floor (37673.5)     		tx = 37673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434013366699219 × 216)
    floor (0.434013366699219 × 65536)
    floor (28443.5)     		ty = 28443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37673 / 28443 ti = "16/37673/28443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37673/28443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37673 ÷ 216
    37673 ÷ 65536     		x = 0.574844360351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28443 ÷ 216
    28443 ÷ 65536     		y = 0.434005737304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574844360351562 × 2 - 1) × π
    0.149688720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47026099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434005737304688 × 2 - 1) × π
    0.131988525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.414654181713486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47026099} λ = 0.47026099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.414654181713486))-π/2
    2×atan(1.51384713413893)-π/2
    2×0.987027297739609-π/2
    1.97405459547922-1.57079632675     		φ = 0.40325827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47026099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.943970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40325827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.104997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37673 KachelY 28443 0.47026099 0.40325827 26.943970 23.104997
    Oben rechts KachelX + 1 37674 KachelY 28443 0.47035686 0.40325827 26.949463 23.104997
    Unten links KachelX 37673 KachelY + 1 28444 0.47026099 0.40317008 26.943970 23.099944
    Unten rechts KachelX + 1 37674 KachelY + 1 28444 0.47035686 0.40317008 26.949463 23.099944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40325827-0.40317008) × R
    8.8189999999988e-05 × 6371000     		dl = 561.858489999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40325827-0.40317008) × R
    8.8189999999988e-05 × 6371000     		dr = 561.858489999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47026099-0.47035686) × cos(0.40325827) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.919787277009379 × 6371000     		do = 561.794819798918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47026099-0.47035686) × cos(0.40317008) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.919821880717323 × 6371000     		du = 561.815955320527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40325827)-sin(0.40317008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919787277009379-0.919821880717323)×R²
    abs(0.47035686-0.47026099)×3.46037079443917e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.46037079443917e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.46037079443917e-05×40589641000000     		ar = 315655.126932792m²