Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37672 / 39064
↖ ↑ ↗
← S 32.657876°
E 26.938476°		 ← 514.28 m → S 32.657876°
E 26.943970°		 →
↑
514.20 m
↓
↑
514.20 m
↓
S 32.662500°
E 26.938476°		 ← 514.25 m →
264 438 m²		 S 32.662500°
E 26.943970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574836730957031 y=0.596076965332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574836730957031 × 216)
    floor (0.574836730957031 × 65536)
    floor (37672.5)     		tx = 37672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596076965332031 × 216)
    floor (0.596076965332031 × 65536)
    floor (39064.5)     		ty = 39064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37672 / 39064 ti = "16/37672/39064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37672/39064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37672 ÷ 216
    37672 ÷ 65536     		x = 0.5748291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39064 ÷ 216
    39064 ÷ 65536     		y = 0.5960693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5748291015625 × 2 - 1) × π
    0.149658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47016511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5960693359375 × 2 - 1) × π
    -0.192138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.603621440015747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47016511} λ = 0.47016511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.603621440015747))-π/2
    2×atan(0.546827742118684)-π/2
    2×0.500404434246191-π/2
    1.00080886849238-1.57079632675     		φ = -0.56998746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47016511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.938476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56998746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.657876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37672 KachelY 39064 0.47016511 -0.56998746 26.938476 -32.657876
    Oben rechts KachelX + 1 37673 KachelY 39064 0.47026099 -0.56998746 26.943970 -32.657876
    Unten links KachelX 37672 KachelY + 1 39065 0.47016511 -0.57006817 26.938476 -32.662500
    Unten rechts KachelX + 1 37673 KachelY + 1 39065 0.47026099 -0.57006817 26.943970 -32.662500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56998746--0.57006817) × R
    8.07099999999839e-05 × 6371000     		dl = 514.203409999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56998746--0.57006817) × R
    8.07099999999839e-05 × 6371000     		dr = 514.203409999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47016511-0.47026099) × cos(-0.56998746) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.841907742081965 × 6371000     		do = 514.280590274187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47016511-0.47026099) × cos(-0.57006817) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.841864186489315 × 6371000     		du = 514.253984275955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56998746)-sin(-0.57006817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841907742081965-0.841864186489315)×R²
    abs(0.47026099-0.47016511)×4.35555926490139e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.35555926490139e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.35555926490139e-05×40589641000000     		ar = 264437.992911908m²