Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37672 / 103208
↖ ↑ ↗
← S 71.335983°
W 76.530762°		 ← 97.74 m → S 71.335983°
W 76.528015°		 →
↑
97.73 m
↓
↑
97.73 m
↓
S 71.336862°
W 76.530762°		 ← 97.74 m →
9 552 m²		 S 71.336862°
W 76.528015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287418365478516 y=0.787418365478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287418365478516 × 217)
    floor (0.287418365478516 × 131072)
    floor (37672.5)     		tx = 37672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787418365478516 × 217)
    floor (0.787418365478516 × 131072)
    floor (103208.5)     		ty = 103208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37672 / 103208 ti = "17/37672/103208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37672/103208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37672 ÷ 217
    37672 ÷ 131072     		x = 0.28741455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103208 ÷ 217
    103208 ÷ 131072     		y = 0.78741455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28741455078125 × 2 - 1) × π
    -0.4251708984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.33571377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78741455078125 × 2 - 1) × π
    -0.5748291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.80587888248676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33571377} λ = -1.33571377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80587888248676))-π/2
    2×atan(0.164329966362011)-π/2
    2×0.162874273265379-π/2
    0.325748546530759-1.57079632675     		φ = -1.24504778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33571377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.530762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24504778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.335983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37672 KachelY 103208 -1.33571377 -1.24504778 -76.530762 -71.335983
    Oben rechts KachelX + 1 37673 KachelY 103208 -1.33566583 -1.24504778 -76.528015 -71.335983
    Unten links KachelX 37672 KachelY + 1 103209 -1.33571377 -1.24506312 -76.530762 -71.336862
    Unten rechts KachelX + 1 37673 KachelY + 1 103209 -1.33566583 -1.24506312 -76.528015 -71.336862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24504778--1.24506312) × R
    1.53400000000303e-05 × 6371000     		dl = 97.7311400001932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24504778--1.24506312) × R
    1.53400000000303e-05 × 6371000     		dr = 97.7311400001932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33571377--1.33566583) × cos(-1.24504778) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.320018057246782 × 6371000     		do = 97.7417519478967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33571377--1.33566583) × cos(-1.24506312) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.320003523917589 × 6371000     		du = 97.7373130950731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24504778)-sin(-1.24506312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320018057246782-0.320003523917589)×R²
    abs(-1.33566583--1.33571377)×1.45333291934335e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45333291934335e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45333291934335e-05×40589641000000     		ar = 9552.19593658105m²