Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37671 / 28446
↖ ↑ ↗
← N 23.089838°
E 26.932984°		 ← 561.86 m → N 23.089838°
E 26.938476°		 →
↑
561.86 m
↓
↑
561.86 m
↓
N 23.084785°
E 26.932984°		 ← 561.88 m →
315 691 m²		 N 23.084785°
E 26.938476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574821472167969 y=0.434059143066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574821472167969 × 216)
    floor (0.574821472167969 × 65536)
    floor (37671.5)     		tx = 37671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434059143066406 × 216)
    floor (0.434059143066406 × 65536)
    floor (28446.5)     		ty = 28446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37671 / 28446 ti = "16/37671/28446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37671/28446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37671 ÷ 216
    37671 ÷ 65536     		x = 0.574813842773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28446 ÷ 216
    28446 ÷ 65536     		y = 0.434051513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574813842773438 × 2 - 1) × π
    0.149627685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47006924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434051513671875 × 2 - 1) × π
    0.13189697265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.414366560315765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47006924} λ = 0.47006924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.414366560315765))-π/2
    2×atan(1.51341178192159)-π/2
    2×0.986895015024891-π/2
    1.97379003004978-1.57079632675     		φ = 0.40299370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47006924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.932984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40299370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.089838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37671 KachelY 28446 0.47006924 0.40299370 26.932984 23.089838
    Oben rechts KachelX + 1 37672 KachelY 28446 0.47016511 0.40299370 26.938476 23.089838
    Unten links KachelX 37671 KachelY + 1 28447 0.47006924 0.40290551 26.932984 23.084785
    Unten rechts KachelX + 1 37672 KachelY + 1 28447 0.47016511 0.40290551 26.938476 23.084785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40299370-0.40290551) × R
    8.8189999999988e-05 × 6371000     		dl = 561.858489999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40299370-0.40290551) × R
    8.8189999999988e-05 × 6371000     		dr = 561.858489999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47006924-0.47016511) × cos(0.40299370) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.919891066671264 × 6371000     		do = 561.858213255051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47006924-0.47016511) × cos(0.40290551) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.919925648916724 × 6371000     		du = 561.879335667636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40299370)-sin(0.40290551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919891066671264-0.919925648916724)×R²
    abs(0.47016511-0.47006924)×3.45822454591582e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.45822454591582e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.45822454591582e-05×40589641000000     		ar = 315690.741401398m²