Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37671 / 103223
↖ ↑ ↗
← S 71.349163°
W 76.533508°		 ← 97.68 m → S 71.349163°
W 76.530762°		 →
↑
97.67 m
↓
↑
97.67 m
↓
S 71.350041°
W 76.533508°		 ← 97.67 m →
9 539 m²		 S 71.350041°
W 76.530762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287410736083984 y=0.787532806396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287410736083984 × 217)
    floor (0.287410736083984 × 131072)
    floor (37671.5)     		tx = 37671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787532806396484 × 217)
    floor (0.787532806396484 × 131072)
    floor (103223.5)     		ty = 103223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37671 / 103223 ti = "17/37671/103223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37671/103223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37671 ÷ 217
    37671 ÷ 131072     		x = 0.287406921386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103223 ÷ 217
    103223 ÷ 131072     		y = 0.787528991699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.287406921386719 × 2 - 1) × π
    -0.425186157226562 × 3.1415926535     		Λ = -1.33576171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787528991699219 × 2 - 1) × π
    -0.575057983398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.80659793598106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33576171} λ = -1.33576171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80659793598106))-π/2
    2×atan(0.164211846797712)-π/2
    2×0.162759257396458-π/2
    0.325518514792916-1.57079632675     		φ = -1.24527781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33576171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.533508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24527781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.349163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37671 KachelY 103223 -1.33576171 -1.24527781 -76.533508 -71.349163
    Oben rechts KachelX + 1 37672 KachelY 103223 -1.33571377 -1.24527781 -76.530762 -71.349163
    Unten links KachelX 37671 KachelY + 1 103224 -1.33576171 -1.24529314 -76.533508 -71.350041
    Unten rechts KachelX + 1 37672 KachelY + 1 103224 -1.33571377 -1.24529314 -76.530762 -71.350041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24527781--1.24529314) × R
    1.53300000000911e-05 × 6371000     		dl = 97.6674300005804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24527781--1.24529314) × R
    1.53300000000911e-05 × 6371000     		dr = 97.6674300005804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33576171--1.33571377) × cos(-1.24527781) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.319800115727699 × 6371000     		do = 97.6751869986064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33576171--1.33571377) × cos(-1.24529314) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.31978559074458 × 6371000     		du = 97.6707506948888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24527781)-sin(-1.24529314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319800115727699-0.31978559074458)×R²
    abs(-1.33571377--1.33576171)×1.45249831189354e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.45249831189354e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.45249831189354e-05×40589641000000     		ar = 9539.46784808124m²