Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37670 / 27347
↖ ↑ ↗
← N 28.521796°
E 26.927490°		 ← 536.72 m → N 28.521796°
E 26.932984°		 →
↑
536.69 m
↓
↑
536.69 m
↓
N 28.516969°
E 26.927490°		 ← 536.74 m →
288 058 m²		 N 28.516969°
E 26.932984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574806213378906 y=0.417289733886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574806213378906 × 216)
    floor (0.574806213378906 × 65536)
    floor (37670.5)     		tx = 37670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417289733886719 × 216)
    floor (0.417289733886719 × 65536)
    floor (27347.5)     		ty = 27347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37670 / 27347 ti = "16/37670/27347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37670/27347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37670 ÷ 216
    37670 ÷ 65536     		x = 0.574798583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27347 ÷ 216
    27347 ÷ 65536     		y = 0.417282104492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574798583984375 × 2 - 1) × π
    0.14959716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46997336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417282104492188 × 2 - 1) × π
    0.165435791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.519731865680649
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46997336} λ = 0.46997336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.519731865680649))-π/2
    2×atan(1.68157670082004)-π/2
    2×1.03429778813107-π/2
    2.06859557626214-1.57079632675     		φ = 0.49779925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46997336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.927490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49779925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.521796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37670 KachelY 27347 0.46997336 0.49779925 26.927490 28.521796
    Oben rechts KachelX + 1 37671 KachelY 27347 0.47006924 0.49779925 26.932984 28.521796
    Unten links KachelX 37670 KachelY + 1 27348 0.46997336 0.49771501 26.927490 28.516969
    Unten rechts KachelX + 1 37671 KachelY + 1 27348 0.47006924 0.49771501 26.932984 28.516969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49779925-0.49771501) × R
    8.42400000000132e-05 × 6371000     		dl = 536.693040000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49779925-0.49771501) × R
    8.42400000000132e-05 × 6371000     		dr = 536.693040000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46997336-0.47006924) × cos(0.49779925) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.878635531595565 × 6371000     		do = 536.715814855697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46997336-0.47006924) × cos(0.49771501) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.878675752491587 × 6371000     		du = 536.740383849558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49779925)-sin(0.49771501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878635531595565-0.878675752491587)×R²
    abs(0.47006924-0.46997336)×4.02208960216255e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.02208960216255e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.02208960216255e-05×40589641000000     		ar = 288058.235465232m²