Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3767 / 1912
↖ ↑ ↗
← N 68.784144°
W 14.458008°		 ← 1 768.34 m → N 68.784144°
W 14.414063°		 →
↑
1 768.97 m
↓
↑
1 768.97 m
↓
N 68.768235°
W 14.458008°		 ← 1 769.60 m →
3 129 257 m²		 N 68.768235°
W 14.414063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45989990234375 y=0.23345947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45989990234375 × 213)
    floor (0.45989990234375 × 8192)
    floor (3767.5)     		tx = 3767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23345947265625 × 213)
    floor (0.23345947265625 × 8192)
    floor (1912.5)     		ty = 1912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3767 / 1912 ti = "13/3767/1912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3767/1912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3767 ÷ 213
    3767 ÷ 8192     		x = 0.4598388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1912 ÷ 213
    1912 ÷ 8192     		y = 0.2333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4598388671875 × 2 - 1) × π
    -0.080322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25233984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2333984375 × 2 - 1) × π
    0.533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.67510702032324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25233984} λ = -0.25233984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67510702032324))-π/2
    2×atan(5.33936653923039)-π/2
    2×1.3856530544555-π/2
    2.77130610891099-1.57079632675     		φ = 1.20050978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25233984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.458008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20050978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.784144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3767 KachelY 1912 -0.25233984 1.20050978 -14.458008 68.784144
    Oben rechts KachelX + 1 3768 KachelY 1912 -0.25157285 1.20050978 -14.414063 68.784144
    Unten links KachelX 3767 KachelY + 1 1913 -0.25233984 1.20023212 -14.458008 68.768235
    Unten rechts KachelX + 1 3768 KachelY + 1 1913 -0.25157285 1.20023212 -14.414063 68.768235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20050978-1.20023212) × R
    0.000277660000000068 × 6371000     		dl = 1768.97186000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20050978-1.20023212) × R
    0.000277660000000068 × 6371000     		dr = 1768.97186000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25233984--0.25157285) × cos(1.20050978) × R
    0.000766989999999967 × 0.361882572528031 × 6371000     		do = 1768.33676242609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25233984--0.25157285) × cos(1.20023212) × R
    0.000766989999999967 × 0.362141399804119 × 6371000     		du = 1769.60152017396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20050978)-sin(1.20023212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361882572528031-0.362141399804119)×R²
    abs(-0.25157285--0.25233984)×0.000258827276087836×R²
    0.000766989999999967×0.000258827276087836×6371000²
    0.000766989999999967×0.000258827276087836×40589641000000     		ar = 3129256.65227226m²