Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3767 / 1890
↖ ↑ ↗
← N 69.131271°
W 14.458008°		 ← 1 740.71 m → N 69.131271°
W 14.414063°		 →
↑
1 741.32 m
↓
↑
1 741.32 m
↓
N 69.115611°
W 14.458008°		 ← 1 741.95 m →
3 032 216 m²		 N 69.115611°
W 14.414063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45989990234375 y=0.23077392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45989990234375 × 213)
    floor (0.45989990234375 × 8192)
    floor (3767.5)     		tx = 3767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23077392578125 × 213)
    floor (0.23077392578125 × 8192)
    floor (1890.5)     		ty = 1890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3767 / 1890 ti = "13/3767/1890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3767/1890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3767 ÷ 213
    3767 ÷ 8192     		x = 0.4598388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1890 ÷ 213
    1890 ÷ 8192     		y = 0.230712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4598388671875 × 2 - 1) × π
    -0.080322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25233984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230712890625 × 2 - 1) × π
    0.53857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.6919808089895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25233984} λ = -0.25233984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6919808089895))-π/2
    2×atan(5.43022630020256)-π/2
    2×1.38868231291203-π/2
    2.77736462582405-1.57079632675     		φ = 1.20656830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25233984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.458008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20656830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.131271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3767 KachelY 1890 -0.25233984 1.20656830 -14.458008 69.131271
    Oben rechts KachelX + 1 3768 KachelY 1890 -0.25157285 1.20656830 -14.414063 69.131271
    Unten links KachelX 3767 KachelY + 1 1891 -0.25233984 1.20629498 -14.458008 69.115611
    Unten rechts KachelX + 1 3768 KachelY + 1 1891 -0.25157285 1.20629498 -14.414063 69.115611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20656830-1.20629498) × R
    0.000273320000000021 × 6371000     		dl = 1741.32172000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20656830-1.20629498) × R
    0.000273320000000021 × 6371000     		dr = 1741.32172000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25233984--0.25157285) × cos(1.20656830) × R
    0.000766989999999967 × 0.356228069674021 × 6371000     		do = 1740.70607217168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25233984--0.25157285) × cos(1.20629498) × R
    0.000766989999999967 × 0.356483446310132 × 6371000     		du = 1741.95396839046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20656830)-sin(1.20629498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356228069674021-0.356483446310132)×R²
    abs(-0.25157285--0.25233984)×0.000255376636110805×R²
    0.000766989999999967×0.000255376636110805×6371000²
    0.000766989999999967×0.000255376636110805×40589641000000     		ar = 3032215.80488012m²