Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37669 / 28005
↖ ↑ ↗
← N 25.299338°
E 26.921997°		 ← 552.21 m → N 25.299338°
E 26.927490°		 →
↑
552.24 m
↓
↑
552.24 m
↓
N 25.294371°
E 26.921997°		 ← 552.23 m →
304 955 m²		 N 25.294371°
E 26.927490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574790954589844 y=0.427330017089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574790954589844 × 216)
    floor (0.574790954589844 × 65536)
    floor (37669.5)     		tx = 37669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427330017089844 × 216)
    floor (0.427330017089844 × 65536)
    floor (28005.5)     		ty = 28005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37669 / 28005 ti = "16/37669/28005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37669/28005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37669 ÷ 216
    37669 ÷ 65536     		x = 0.574783325195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28005 ÷ 216
    28005 ÷ 65536     		y = 0.427322387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574783325195312 × 2 - 1) × π
    0.149566650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46987749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427322387695312 × 2 - 1) × π
    0.145355224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.456646905780655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46987749} λ = 0.46987749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.456646905780655))-π/2
    2×atan(1.57877133079021)-π/2
    2×1.00617653293496-π/2
    2.01235306586992-1.57079632675     		φ = 0.44155674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46987749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.921997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44155674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.299338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37669 KachelY 28005 0.46987749 0.44155674 26.921997 25.299338
    Oben rechts KachelX + 1 37670 KachelY 28005 0.46997336 0.44155674 26.927490 25.299338
    Unten links KachelX 37669 KachelY + 1 28006 0.46987749 0.44147006 26.921997 25.294371
    Unten rechts KachelX + 1 37670 KachelY + 1 28006 0.46997336 0.44147006 26.927490 25.294371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44155674-0.44147006) × R
    8.66800000000056e-05 × 6371000     		dl = 552.238280000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44155674-0.44147006) × R
    8.66800000000056e-05 × 6371000     		dr = 552.238280000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46987749-0.46997336) × cos(0.44155674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.904087490179733 × 6371000     		do = 552.205582011764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46987749-0.46997336) × cos(0.44147006) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.904124529256918 × 6371000     		du = 552.228205027121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44155674)-sin(0.44147006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904087490179733-0.904124529256918)×R²
    abs(0.46997336-0.46987749)×3.70390771853302e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.70390771853302e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.70390771853302e-05×40589641000000     		ar = 304955.307655156m²