Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37668 / 27460
↖ ↑ ↗
← N 27.974998°
E 26.916504°		 ← 539.42 m → N 27.974998°
E 26.921997°		 →
↑
539.43 m
↓
↑
539.43 m
↓
N 27.970147°
E 26.916504°		 ← 539.44 m →
290 987 m²		 N 27.970147°
E 26.921997°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574775695800781 y=0.419013977050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574775695800781 × 216)
    floor (0.574775695800781 × 65536)
    floor (37668.5)     		tx = 37668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419013977050781 × 216)
    floor (0.419013977050781 × 65536)
    floor (27460.5)     		ty = 27460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37668 / 27460 ti = "16/37668/27460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37668/27460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37668 ÷ 216
    37668 ÷ 65536     		x = 0.57476806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27460 ÷ 216
    27460 ÷ 65536     		y = 0.41900634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57476806640625 × 2 - 1) × π
    0.1495361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46978162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41900634765625 × 2 - 1) × π
    0.1619873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.508898126366516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46978162} λ = 0.46978162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.508898126366516))-π/2
    2×atan(1.66345726505115)-π/2
    2×1.02952607465262-π/2
    2.05905214930525-1.57079632675     		φ = 0.48825582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46978162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.916504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48825582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.974998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37668 KachelY 27460 0.46978162 0.48825582 26.916504 27.974998
    Oben rechts KachelX + 1 37669 KachelY 27460 0.46987749 0.48825582 26.921997 27.974998
    Unten links KachelX 37668 KachelY + 1 27461 0.46978162 0.48817115 26.916504 27.970147
    Unten rechts KachelX + 1 37669 KachelY + 1 27461 0.46987749 0.48817115 26.921997 27.970147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48825582-0.48817115) × R
    8.46700000000089e-05 × 6371000     		dl = 539.432570000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48825582-0.48817115) × R
    8.46700000000089e-05 × 6371000     		dr = 539.432570000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46978162-0.46987749) × cos(0.48825582) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.883152372355323 × 6371000     		do = 539.418668081105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46978162-0.46987749) × cos(0.48817115) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.883192086720347 × 6371000     		du = 539.442925129556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48825582)-sin(0.48817115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883152372355323-0.883192086720347)×R²
    abs(0.46987749-0.46978162)×3.97143650245901e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.97143650245901e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.97143650245901e-05×40589641000000     		ar = 290986.541123913m²