Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37666 / 27356
↖ ↑ ↗
← N 28.478349°
E 26.905518°		 ← 536.88 m → N 28.478349°
E 26.911011°		 →
↑
536.88 m
↓
↑
536.88 m
↓
N 28.473520°
E 26.905518°		 ← 536.91 m →
288 249 m²		 N 28.473520°
E 26.911011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574745178222656 y=0.417427062988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574745178222656 × 216)
    floor (0.574745178222656 × 65536)
    floor (37666.5)     		tx = 37666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417427062988281 × 216)
    floor (0.417427062988281 × 65536)
    floor (27356.5)     		ty = 27356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37666 / 27356 ti = "16/37666/27356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37666/27356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37666 ÷ 216
    37666 ÷ 65536     		x = 0.574737548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27356 ÷ 216
    27356 ÷ 65536     		y = 0.41741943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574737548828125 × 2 - 1) × π
    0.14947509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46958987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41741943359375 × 2 - 1) × π
    0.1651611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.518869001487488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46958987} λ = 0.46958987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.518869001487488))-π/2
    2×atan(1.68012635431287)-π/2
    2×1.03391863849609-π/2
    2.06783727699218-1.57079632675     		φ = 0.49704095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46958987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.905518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49704095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.478349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37666 KachelY 27356 0.46958987 0.49704095 26.905518 28.478349
    Oben rechts KachelX + 1 37667 KachelY 27356 0.46968574 0.49704095 26.911011 28.478349
    Unten links KachelX 37666 KachelY + 1 27357 0.46958987 0.49695668 26.905518 28.473520
    Unten rechts KachelX + 1 37667 KachelY + 1 27357 0.46968574 0.49695668 26.911011 28.473520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49704095-0.49695668) × R
    8.42699999999974e-05 × 6371000     		dl = 536.884169999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49704095-0.49695668) × R
    8.42699999999974e-05 × 6371000     		dr = 536.884169999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46958987-0.46968574) × cos(0.49704095) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.878997361916594 × 6371000     		do = 536.880838520907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46958987-0.46968574) × cos(0.49695668) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.879037540975821 × 6371000     		du = 536.905379398894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49704095)-sin(0.49695668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878997361916594-0.879037540975821)×R²
    abs(0.46968574-0.46958987)×4.01790592278184e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.01790592278184e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.01790592278184e-05×40589641000000     		ar = 288249.411353308m²