Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37665 / 27354
↖ ↑ ↗
← N 28.488005°
E 26.900024°		 ← 536.89 m → N 28.488005°
E 26.905518°		 →
↑
536.88 m
↓
↑
536.88 m
↓
N 28.483177°
E 26.900024°		 ← 536.91 m →
288 253 m²		 N 28.483177°
E 26.905518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574729919433594 y=0.417396545410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574729919433594 × 216)
    floor (0.574729919433594 × 65536)
    floor (37665.5)     		tx = 37665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417396545410156 × 216)
    floor (0.417396545410156 × 65536)
    floor (27354.5)     		ty = 27354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37665 / 27354 ti = "16/37665/27354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37665/27354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37665 ÷ 216
    37665 ÷ 65536     		x = 0.574722290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27354 ÷ 216
    27354 ÷ 65536     		y = 0.417388916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574722290039062 × 2 - 1) × π
    0.149444580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46949399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417388916015625 × 2 - 1) × π
    0.16522216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.519060749085968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46949399} λ = 0.46949399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.519060749085968))-π/2
    2×atan(1.68044854539515)-π/2
    2×1.03400290745986-π/2
    2.06800581491972-1.57079632675     		φ = 0.49720949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46949399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.900024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49720949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.488005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37665 KachelY 27354 0.46949399 0.49720949 26.900024 28.488005
    Oben rechts KachelX + 1 37666 KachelY 27354 0.46958987 0.49720949 26.905518 28.488005
    Unten links KachelX 37665 KachelY + 1 27355 0.46949399 0.49712522 26.900024 28.483177
    Unten rechts KachelX + 1 37666 KachelY + 1 27355 0.46958987 0.49712522 26.905518 28.483177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49720949-0.49712522) × R
    8.42699999999974e-05 × 6371000     		dl = 536.884169999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49720949-0.49712522) × R
    8.42699999999974e-05 × 6371000     		dr = 536.884169999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46949399-0.46958987) × cos(0.49720949) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.878916985072001 × 6371000     		do = 536.887741128329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46949399-0.46958987) × cos(0.49712522) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.878957176615225 × 6371000     		du = 536.91229219199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49720949)-sin(0.49712522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878916985072001-0.878957176615225)×R²
    abs(0.46958987-0.46949399)×4.01915432239885e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.01915432239885e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.01915432239885e-05×40589641000000     		ar = 288253.119988228m²