Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37664 / 27872
↖ ↑ ↗
← N 25.958045°
E 26.894531°		 ← 549.17 m → N 25.958045°
E 26.900024°		 →
↑
549.24 m
↓
↑
549.24 m
↓
N 25.953105°
E 26.894531°		 ← 549.19 m →
301 634 m²		 N 25.953105°
E 26.900024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574714660644531 y=0.425300598144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574714660644531 × 216)
    floor (0.574714660644531 × 65536)
    floor (37664.5)     		tx = 37664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425300598144531 × 216)
    floor (0.425300598144531 × 65536)
    floor (27872.5)     		ty = 27872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37664 / 27872 ti = "16/37664/27872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37664/27872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37664 ÷ 216
    37664 ÷ 65536     		x = 0.57470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27872 ÷ 216
    27872 ÷ 65536     		y = 0.42529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57470703125 × 2 - 1) × π
    0.1494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46939812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42529296875 × 2 - 1) × π
    0.1494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.46939812107959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46939812} λ = 0.46939812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46939812107959))-π/2
    2×atan(1.59903148018709)-π/2
    2×1.011924836856-π/2
    2.02384967371201-1.57079632675     		φ = 0.45305335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46939812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.894531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45305335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.958045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37664 KachelY 27872 0.46939812 0.45305335 26.894531 25.958045
    Oben rechts KachelX + 1 37665 KachelY 27872 0.46949399 0.45305335 26.900024 25.958045
    Unten links KachelX 37664 KachelY + 1 27873 0.46939812 0.45296714 26.894531 25.953105
    Unten rechts KachelX + 1 37665 KachelY + 1 27873 0.46949399 0.45296714 26.900024 25.953105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45305335-0.45296714) × R
    8.6210000000031e-05 × 6371000     		dl = 549.243910000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45305335-0.45296714) × R
    8.6210000000031e-05 × 6371000     		dr = 549.243910000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46939812-0.46949399) × cos(0.45305335) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.89911480499604 × 6371000     		do = 549.168326717822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46939812-0.46949399) × cos(0.45296714) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.899152536882402 × 6371000     		du = 549.191372892551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45305335)-sin(0.45296714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89911480499604-0.899152536882402)×R²
    abs(0.46949399-0.46939812)×3.77318863623577e-05×R²
    9.58700000000534e-05×3.77318863623577e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×3.77318863623577e-05×40589641000000     		ar = 301633.688187087m²