Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37661 / 27868
↖ ↑ ↗
← N 25.977799°
E 26.878052°		 ← 549.08 m → N 25.977799°
E 26.883545°		 →
↑
549.05 m
↓
↑
549.05 m
↓
N 25.972861°
E 26.878052°		 ← 549.10 m →
301 478 m²		 N 25.972861°
E 26.883545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574668884277344 y=0.425239562988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574668884277344 × 216)
    floor (0.574668884277344 × 65536)
    floor (37661.5)     		tx = 37661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425239562988281 × 216)
    floor (0.425239562988281 × 65536)
    floor (27868.5)     		ty = 27868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37661 / 27868 ti = "16/37661/27868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37661/27868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37661 ÷ 216
    37661 ÷ 65536     		x = 0.574661254882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27868 ÷ 216
    27868 ÷ 65536     		y = 0.42523193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574661254882812 × 2 - 1) × π
    0.149322509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46911050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42523193359375 × 2 - 1) × π
    0.1495361328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.46978161627655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46911050} λ = 0.46911050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46978161627655))-π/2
    2×atan(1.59964481867819)-π/2
    2×1.01209722548841-π/2
    2.02419445097682-1.57079632675     		φ = 0.45339812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46911050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.878052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45339812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.977799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37661 KachelY 27868 0.46911050 0.45339812 26.878052 25.977799
    Oben rechts KachelX + 1 37662 KachelY 27868 0.46920637 0.45339812 26.883545 25.977799
    Unten links KachelX 37661 KachelY + 1 27869 0.46911050 0.45331194 26.878052 25.972861
    Unten rechts KachelX + 1 37662 KachelY + 1 27869 0.46920637 0.45331194 26.883545 25.972861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45339812-0.45331194) × R
    8.61799999999913e-05 × 6371000     		dl = 549.052779999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45339812-0.45331194) × R
    8.61799999999913e-05 × 6371000     		dr = 549.052779999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46911050-0.46920637) × cos(0.45339812) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.898963841291309 × 6371000     		do = 549.076119932941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46911050-0.46920637) × cos(0.45331194) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.899001586761678 × 6371000     		du = 549.099174404615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45339812)-sin(0.45331194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898963841291309-0.899001586761678)×R²
    abs(0.46920637-0.46911050)×3.77454703686109e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.77454703686109e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.77454703686109e-05×40589641000000     		ar = 301478.099328134m²